Annexe A
Les fractales
Lorsque nous voulons mesurer les dimensions d u n objet : composant de mécanique, pièce de notre habitation, terrain.. . nous cherchons un instrument convenable : pied à coulisse, mètre, chaîne d’arpenteur ... et nous effectuons la mesure
sans nous poser de questions. Aux erreurs expérimentales près, deux opérateurs
trouveront le même résultat, car, imprégnés par la géométrie d’Euclide, nous ne
connaissons qu’une seule définition de la distance entre deux points. Quant à
l’instrument de mesure, il peut être plus ou moins pratique et plus ou moins précis
mais les résultats ne sont pas fondamentalement différents lorsqu’on le change.
Si on s’intéresse maintenant à la mesure de la longueur d’une côte, on doit se
demander comment procéder : doit-on partager la côte en segments consécutifs
et ajouter les longueurs de ces segments ? Quelle doit être la taille de ces segments (pas de mesure) ? Faut-il faire le tour de chaque rocher ? De chaque grain
de sable ? On constate que le résultat dépend du pas de mesure (pas d’approximation) comme le montre la figure A. 1.
L a théorie des fractales a été introduite par Mandelbrot à partir de 1967. En
se basant sur la linéarité, en représentation log-log, de la mesure L en fonction
du pas de mesure E , on peut écrire :
L oc E1-D
avec D = dimension fractale.
Les objets euclidiens << habituels B : ligne, surface et volumes ont des dimensions, D, respectivement égaies à 1, 2 et 3 : pour une courbe fractale on a 1 5 D 5 2
et pour une surface 2 5 D 5 3 . Entre le point de dimension O et la ligne de dimension 1 on peut trouver la << poussière B telle que O 5 D 5 1.
Une surface fractale se situe entre la surface et le volume euclidiens. La
dimension fractale D est u n paramètre invariant lors des changements d’échelle.
Des justifications rigoureuses et détaillées sont apportées dans les travaux de
Mandelbrot .
Les fractales
Lorsque nous voulons mesurer les dimensions d u n objet : composant de mécanique, pièce de notre habitation, terrain.. . nous cherchons un instrument convenable : pied à coulisse, mètre, chaîne d’arpenteur ... et nous effectuons la mesure
sans nous poser de questions. Aux erreurs expérimentales près, deux opérateurs
trouveront le même résultat, car, imprégnés par la géométrie d’Euclide, nous ne
connaissons qu’une seule définition de la distance entre deux points. Quant à
l’instrument de mesure, il peut être plus ou moins pratique et plus ou moins précis
mais les résultats ne sont pas fondamentalement différents lorsqu’on le change.
Si on s’intéresse maintenant à la mesure de la longueur d’une côte, on doit se
demander comment procéder : doit-on partager la côte en segments consécutifs
et ajouter les longueurs de ces segments ? Quelle doit être la taille de ces segments (pas de mesure) ? Faut-il faire le tour de chaque rocher ? De chaque grain
de sable ? On constate que le résultat dépend du pas de mesure (pas d’approximation) comme le montre la figure A. 1.
L a théorie des fractales a été introduite par Mandelbrot à partir de 1967. En
se basant sur la linéarité, en représentation log-log, de la mesure L en fonction
du pas de mesure E , on peut écrire :
L oc E1-D
avec D = dimension fractale.
Les objets euclidiens << habituels B : ligne, surface et volumes ont des dimensions, D, respectivement égaies à 1, 2 et 3 : pour une courbe fractale on a 1 5 D 5 2
et pour une surface 2 5 D 5 3 . Entre le point de dimension O et la ligne de dimension 1 on peut trouver la << poussière B telle que O 5 D 5 1.
Une surface fractale se situe entre la surface et le volume euclidiens. La
dimension fractale D est u n paramètre invariant lors des changements d’échelle.
Des justifications rigoureuses et détaillées sont apportées dans les travaux de
Mandelbrot .