Annexe 5
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possibles entre les chaînes, c’est-à-dire qu’il faut considérer la famille C = C ( Ω) des
chaînes de Ω ≡ famille des sous-ensembles de Ω.
Le couple ( Ω, C ( Ω)) possède au plan mathématique des propriétés particulières qui permettent de définir des mesures d’une grandeur dans le cadre d’une approche probabiliste.
Les mathématiciens appellent :
– C ( Ω) : tribu ou σ-algèbre,
– ( Ω, C ( Ω)) : espace probabilisable,
– les éléments de C ( Ω) sont appelés ensembles mesurables de Ω.
Les êtres mathématiques qui permettent d’estimer une grandeur dans le cadre d’une
approche probabiliste sont notamment : la variable aléatoire (l’estimateur), la fonction de
répartition, la densité de probabilité, l’espérance mathématique (intégrale de LebesgueStieljes), la variance.
A5.2. Fonction de répartition, densité
de probabilité
Soit X une variable aléatoire continue prenant des valeurs dans ‫.ޒ‬ La fonction de répartition F(x) de la variable aléatoire X est définie par la fonction :
F(x) = Probabilité {X < x}
Par construction F(x) est toujours monotone croissante et F( ∞) = 1. Soit la fonction f(x)
telle que :
avec les conditions suivantes :
f(x) existe partout, f(x) non négative, f(x) intégrable de 0 à x et
.
Alors : f(x) est la densité de probabilité ou fonction de distribution de probabilité de la
variable aléatoire X.
Exemple de la désintégration radioactive
L’événement est la désintégration ou non du noyau radioactif.
Fonction de répartition : F(t) = exp(–λt), probabilité pour un noyau radioactif de période
ln2/λ de ne pas se désintégrer au bout du temps t.
Densité de probabilité : f(t) = λexp(–λt), probabilité de désintégration par unité de temps
au temps t.
Pour une variable aléatoire discrète, on a :
avec p(x r ) = probabilité
{X < x r } et
.
F x
( )
f
0
x
Ύ xЈ
( )dxЈ
ϭ
f
0
x
Ύ xЈ
( )dxЈ 1
ϭ
F x i
( )
p x r
( )
r i
Ͻ
Α
ϭ
p x r
( ) 1
ϭ
r
Α