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Radioprotection et ingénierie nucléaire
déterminer le flux de la population neutronique ou un quelconque taux de réaction dans
une région donnée de l’installation.
A5.1.1. Processus aléatoires
Un processus aléatoire (ou stochastique) est caractérisé par :
– Un espace des états, ensemble des différentes configurations prises par le système étudié
sous l’action de phénomènes physiques.
– Une ou des relations de dépendance entre ces états : ces relations de dépendance spécifient le type de processus aléatoire. Quand l’état considéré du système ne dépend que de
l’état immédiatement antérieur, on a affaire à un processus aléatoire de Markov (mathématicien russe, 1856-1922, élève de Tchebychev). Une chaîne de Markov est un
processus aléatoire de Markov dont l’espace des états est un ensemble fini ou dénombrable. Par exemple, la propagation des neutrons dans un milieu physique donné est un
processus aléatoire de Markov.
– Une ou plusieurs variables aléatoires. L’étude du comportement ou des propriétés d’un
système conduit en général à la détermination d’une grandeur. Pour le physicien des réacteurs, il s’agit typiquement d’un flux/courant de particules, d’un facteur de multiplication
effectif des neutrons dans une réaction en chaîne, d’un taux de réaction, etc. Au plan
mathématique cette grandeur physique d’intérêt est représentée par une variable aléatoire
appelée estimateur. Le déroulement du processus aléatoire permet d’attribuer une valeur
à cet estimateur.
A5.1.2. Événements et famille d’événements
Une notion immédiatement intuitive est l’occurrence et la non-occurrence d’un événement. À titre d’exemple, considérons une population de neutrons se propageant dans un
milieu formé de noyaux d’hydrogène et d’uranium ( 235 U, 238 U). Les interactions d’un
neutron avec un noyau :
– diffusion élastique, capture radiative sur l’hydrogène,
– diffusion inélastique, diffusion élastique, capture radiative, fission sur l’uranium,
définissent les événements élémentaires possibles. La propagation d’un neutron consiste
donc en une chaîne d’événements. On dira ainsi que chaque neutron a une histoire. Une
configuration du système est représentée par l’ensemble des chaînes d’événements
élémentaires (ou des histoires) relatives à chaque neutron qui se propage dans le milieu.
Soit Ω l’ensemble de toutes les chaînes d’événements aléatoires possibles ; Ω est aussi
appelé espace des marches aléatoires.
L’ensemble Ω est défini par :
Pour décrire correctement notre système physique dans toute sa complexité, on ne doit
pas seulement considérer l’ensemble Ω des chaînes mais aussi toutes les « combinaisons »
⍀
A k
k i
ϭ
K
ʜ
⎝
⎠
⎜
⎟
⎛
⎞
ϭ
A k
C ⍀
ʦ
n c
( )
ր
k
ϭ
{
}
ϭ
k 1 2
,
ϭ
A i
A j
i j
ʝ
C : chaîne de longueur k appartenant à ⍀.
ϭ
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
C : chaîne de longueur k appartenant à Ω.
Radioprotection et ingénierie nucléaire
déterminer le flux de la population neutronique ou un quelconque taux de réaction dans
une région donnée de l’installation.
A5.1.1. Processus aléatoires
Un processus aléatoire (ou stochastique) est caractérisé par :
– Un espace des états, ensemble des différentes configurations prises par le système étudié
sous l’action de phénomènes physiques.
– Une ou des relations de dépendance entre ces états : ces relations de dépendance spécifient le type de processus aléatoire. Quand l’état considéré du système ne dépend que de
l’état immédiatement antérieur, on a affaire à un processus aléatoire de Markov (mathématicien russe, 1856-1922, élève de Tchebychev). Une chaîne de Markov est un
processus aléatoire de Markov dont l’espace des états est un ensemble fini ou dénombrable. Par exemple, la propagation des neutrons dans un milieu physique donné est un
processus aléatoire de Markov.
– Une ou plusieurs variables aléatoires. L’étude du comportement ou des propriétés d’un
système conduit en général à la détermination d’une grandeur. Pour le physicien des réacteurs, il s’agit typiquement d’un flux/courant de particules, d’un facteur de multiplication
effectif des neutrons dans une réaction en chaîne, d’un taux de réaction, etc. Au plan
mathématique cette grandeur physique d’intérêt est représentée par une variable aléatoire
appelée estimateur. Le déroulement du processus aléatoire permet d’attribuer une valeur
à cet estimateur.
A5.1.2. Événements et famille d’événements
Une notion immédiatement intuitive est l’occurrence et la non-occurrence d’un événement. À titre d’exemple, considérons une population de neutrons se propageant dans un
milieu formé de noyaux d’hydrogène et d’uranium ( 235 U, 238 U). Les interactions d’un
neutron avec un noyau :
– diffusion élastique, capture radiative sur l’hydrogène,
– diffusion inélastique, diffusion élastique, capture radiative, fission sur l’uranium,
définissent les événements élémentaires possibles. La propagation d’un neutron consiste
donc en une chaîne d’événements. On dira ainsi que chaque neutron a une histoire. Une
configuration du système est représentée par l’ensemble des chaînes d’événements
élémentaires (ou des histoires) relatives à chaque neutron qui se propage dans le milieu.
Soit Ω l’ensemble de toutes les chaînes d’événements aléatoires possibles ; Ω est aussi
appelé espace des marches aléatoires.
L’ensemble Ω est défini par :
Pour décrire correctement notre système physique dans toute sa complexité, on ne doit
pas seulement considérer l’ensemble Ω des chaînes mais aussi toutes les « combinaisons »
⍀
A k
k i
ϭ
K
ʜ
⎝
⎠
⎜
⎟
⎛
⎞
ϭ
A k
C ⍀
ʦ
n c
( )
ր
k
ϭ
{
}
ϭ
k 1 2
,
ϭ
A i
A j
i j
ʝ
C : chaîne de longueur k appartenant à ⍀.
ϭ
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
C : chaîne de longueur k appartenant à Ω.