11 - Évolution isotopique : méthodes et codes de calcul
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11.2.1. Solution analytique pour une chaîne
de filiation simple
Considérons la chaîne des filiations radioactives simples représentée par le schéma
suivant :
A 1 → A 1 → A 1 → … → A k – 1 → A k → …
L’équation différentielle qui donne à l’instant t le nombre de noyaux N k du nucléide k
provenant du nucléide A 1 s’écrit :
(11.5)
avec la condition initiale N k (t = 0) = N k (0).
En partant de l’isotope tête de chaîne, on a :
qui entraîne :
qui entraîne :
En procédant par récurrence, on peut montrer que la solution de l’équation (11.5) est :
(11.6)
avec :
Dans le cas où les concentrations de tous les précurseurs de A k ne sont pas toutes nulles,
on généralise l’expression (11.6) à :
(11.7)
(11.10) est obtenue en sommant les contributions provenant des différents précurseurs de
la chaîne.
La solution du problème de la chaîne des filiations radioactives simples est très restrictive.
Elle ne tient pas compte d’une source alimentant directement, au cours du temps, les
nucléides de la chaîne (alimentation par les rendements de fission, par exemple – cas des
PF), ni les alimentations par capture neutronique provenant d’autres chaînes de désintégration. D’où la nécessité d’étendre la résolution aux équations de Bateman généralisées.
dN k t
( )
dt
----------------- ␭ k 1
Ϫ N k 1
Ϫ
␭ k N k
Ϫ
ϭ
dN 1 t
( )
dt
----------------- -
␭
Ϫ 1 N 1 t
( )
ϭ
N 1 t
( ) N 1 0
( )e
␭ 1 t
Ϫ
ϭ
dN 2 t
( )
dt
----------------- -
␭
Ϫ 1 N 1 t
( ) ␭
Ϫ 2 N 2 t
( )
ϭ
N 2 t
( ) N 1 0
( )
␭ 1
␭ 2 ␭ 1
Ϫ
------------------- - e
␭ 1 t
Ϫ
e
␭ 2 t
Ϫ
Ϫ
[
]
ϭ
N k t
( ) N 1 0
( )
P ik e
␭ i t
Ϫ
i 1
ϭ
k
Α
ϭ
P ik
␭ i
␭ k ␭ i
Ϫ
-----------------␭ j
␭ j ␭ i
Ϫ
---------------- -
j 1
ϭ
k 1
Ϫ
Β
i
᭙
k
Ͻ
ϭ
P kk
P ik
i 1
ϭ
k 1
Ϫ
Α
Ϫ
ϭ
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧
N k t
( )
N l
l 1
ϭ
k 1
Ϫ
Α 0
( )
P ik e
␭ i t
Ϫ
i l
ϭ
k
Α
⎝
⎠
⎜
⎟
⎛
⎞
N k 0
( )e
␭ k t
Ϫ
ϩ
ϭ