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Radioprotection et ingénierie nucléaire
11.2.2. Solution analytique des équations
de Bateman généralisées
Hypothèse : La chaîne de filiations est supposée ne contenir aucun chemin fermé. Sous
cette condition, il est toujours possible d’ordonner les nucléides de manière à ce que le
calcul du i ème nucléide ne fasse intervenir que des nucléides déjà calculés.
Soit C ik le taux de transmutation (par décroissance et par réaction nucléaire) entre deux
nucléides i et k, et b i un terme source constant par palier d’irradiation et alimentant le
nucléide i, l’équation à résoudre (11.1) peut s’écrire sous une forme simplifiée :
(11.8)
On montre que la solution s’écrit :
(11.9)
où les coefficients F ij et N i
S sont déterminés en utilisant l’équation différentielle (11.8) et
la condition initiale N i (t = 0) = N i (0).
En dérivant les deux termes de (11.9) puis en substituant
dans l’équation différentielle
(11.8) et en identifiant le polynôme en
au polynôme nul, on obtient :
(11.10)
11.2.3. Résolution numérique des équations
de Bateman généralisées
Lorsqu’il existe des chemins fermés, on utilise alors un procédé numérique de
résolution tel que les méthodes Runge-Kutta qui combinent discrétisation de la variable
temporelle et développement de la fonction inconnue en série de Taylor (Butcher, 1967 ;
Méthode Runge-Kutta, 1992). Par exemple, c’est la méthode Runge-Kutta d’ordre 4 qui est
utilisée dans le code d’évolution DARWIN (Tsilanizara et al., 2000).
Les applications visant à déterminer les inventaires ou bilans isotopiques font apparaître
deux types de situation :
– les études de type activation neutronique de structures irradiées. En général, la transmutation du milieu irradié n’est pas suffisante pour affecter au cours du temps la propagation
des neutrons. Pendant l’irradiation, le flux de neutrons du dispositif nucléaire considéré
dN i t
( )
dt
---------------- b i
C ik N k t
( ) C ii
Ϫ N i t
( )
k 1
ϭ
i 1
Ϫ
Α
ϩ
ϭ
N i t
( ) N i
S
F ij
j 1
ϭ
i
Α
ϩ
e
C jj t
Ϫ
ϭ
dN i
dt
--------e
C jj t
Ϫ
N i
S
1
C ii
------ b i
C ij
j 1
ϭ
i 1
Ϫ
Α N j
S
ϩ
si C ii 0
ϭ
F ij
1
C ii C jj
Ϫ
--------------------=
C ik
k j
ϭ
i 1
Ϫ
Α F kj si C ii C jj
F ii N i 0
( ) N i
S
F ij
j 1
ϭ
i 1
Ϫ
Α
Ϫ
Ϫ
ϭ
⎩
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⎪
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Radioprotection et ingénierie nucléaire
11.2.2. Solution analytique des équations
de Bateman généralisées
Hypothèse : La chaîne de filiations est supposée ne contenir aucun chemin fermé. Sous
cette condition, il est toujours possible d’ordonner les nucléides de manière à ce que le
calcul du i ème nucléide ne fasse intervenir que des nucléides déjà calculés.
Soit C ik le taux de transmutation (par décroissance et par réaction nucléaire) entre deux
nucléides i et k, et b i un terme source constant par palier d’irradiation et alimentant le
nucléide i, l’équation à résoudre (11.1) peut s’écrire sous une forme simplifiée :
(11.8)
On montre que la solution s’écrit :
(11.9)
où les coefficients F ij et N i
S sont déterminés en utilisant l’équation différentielle (11.8) et
la condition initiale N i (t = 0) = N i (0).
En dérivant les deux termes de (11.9) puis en substituant
dans l’équation différentielle
(11.8) et en identifiant le polynôme en
au polynôme nul, on obtient :
(11.10)
11.2.3. Résolution numérique des équations
de Bateman généralisées
Lorsqu’il existe des chemins fermés, on utilise alors un procédé numérique de
résolution tel que les méthodes Runge-Kutta qui combinent discrétisation de la variable
temporelle et développement de la fonction inconnue en série de Taylor (Butcher, 1967 ;
Méthode Runge-Kutta, 1992). Par exemple, c’est la méthode Runge-Kutta d’ordre 4 qui est
utilisée dans le code d’évolution DARWIN (Tsilanizara et al., 2000).
Les applications visant à déterminer les inventaires ou bilans isotopiques font apparaître
deux types de situation :
– les études de type activation neutronique de structures irradiées. En général, la transmutation du milieu irradié n’est pas suffisante pour affecter au cours du temps la propagation
des neutrons. Pendant l’irradiation, le flux de neutrons du dispositif nucléaire considéré
dN i t
( )
dt
---------------- b i
C ik N k t
( ) C ii
Ϫ N i t
( )
k 1
ϭ
i 1
Ϫ
Α
ϩ
ϭ
N i t
( ) N i
S
F ij
j 1
ϭ
i
Α
ϩ
e
C jj t
Ϫ
ϭ
dN i
dt
--------e
C jj t
Ϫ
N i
S
1
C ii
------ b i
C ij
j 1
ϭ
i 1
Ϫ
Α N j
S
ϩ
si C ii 0
ϭ
F ij
1
C ii C jj
Ϫ
--------------------=
C ik
k j
ϭ
i 1
Ϫ
Α F kj si C ii C jj
F ii N i 0
( ) N i
S
F ij
j 1
ϭ
i 1
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Α
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