312
Radioprotection et ingénierie nucléaire
Cette décomposition de (P) en série de Neumann conduit à la résolution de l’équation
du transport par la méthode de Monte Carlo, c’est-à-dire en simulant sur ordinateur
l’histoire des particules : diffusion, absorption, fuite du système physique étudié.
Cette résolution par la méthode de Monte Carlo consiste à :
– Construire un processus statistique appelé « jeu » qui reproduit, à partir d’une source,
l’histoire des particules représentée par un ensemble de trajectoires et de collisions
bornant chaque trajectoire (diffusions, absorptions…). On obtient alors une chaîne de sites
d’événements (sources, collisions, disparition) : P 1 , P 2 …, P n …
– Attribuer une valeur numérique à une variable aléatoire, X, qui dépend du déroulement
du processus statistique. Cette valeur est attribuée au moment de chaque événement (i.e.
collision) au point P i considéré. Chaque événement délivre son « quantum d’information ».
X est appelé estimateur de (P). La valeur attribuée à X est appelée « encaissement »
« score » (scoring).
– Fixer des « règles du jeu », c’est-à-dire les densités de probabilités avec lesquelles les
événements sont choisis. Cela revient à choisir aléatoirement et en conformité avec les
caractéristiques physiques de la source de particules (distribution spatiale, spectre en
énergie, distribution angulaire) et les lois physiques qui régissent leurs interactions avec la
matière, leur parcours, leur énergie et leur direction après collision. Les densités de probabilité utilisées pour simuler l’histoire des particules doivent être telles que E[X], espérance
mathématique de X, satisfasse :
E[X] = (P)
– Réaliser le jeu N fois de manière indépendante : on simule l’histoire de N paquets,
appelés batchs, d’un nombre donné de particules (1000 particules par exemple, pour fixer
les idées). Chacune de ces réalisations, k, fournit une valeur X k de l’estimateur X de Ψ(P).
– Estimer la grandeur (P) cherchée (cf. Annexe 5).
La grandeur (P) est estimée par la valeur moyenne
de son estimateur X :
La loi des grands nombres permet d’écrire :
La détermination de (P) doit être complétée par l’évaluation de l’intervalle de confiance
C(e) associé à la valeur moyenne estimée
. Pour cela, on applique le théorème centrallimite qui permet d’affirmer que
a une répartition gaussienne :
est la variance de la moyenne
.
où E[ ] note l’espérance mathématique.
X N
X N
1
N
---X k
k 1
ϭ
N
Α
ϭ
X N
N ϱ
→
lim
P
( )
ϭ
X N
X N
C e
( ) probabilité P
( ) e
Ϫ
X n P
( )
р
р
e
ϩ
{
}
ϭ
C e
( )
1
X N
2
--------------------x P
( )
Ϫ
2 X N
2
---------------------- -
exp
P
( ) e
Ϫ
P
( ) e
ϩ
#
dx erf
e
X N
2
---------------- -
ϭ
ϭ
X N
X N
X N
2
E X k X N
Ϫ
(
)
2
[
]
ϭ
Radioprotection et ingénierie nucléaire
Cette décomposition de (P) en série de Neumann conduit à la résolution de l’équation
du transport par la méthode de Monte Carlo, c’est-à-dire en simulant sur ordinateur
l’histoire des particules : diffusion, absorption, fuite du système physique étudié.
Cette résolution par la méthode de Monte Carlo consiste à :
– Construire un processus statistique appelé « jeu » qui reproduit, à partir d’une source,
l’histoire des particules représentée par un ensemble de trajectoires et de collisions
bornant chaque trajectoire (diffusions, absorptions…). On obtient alors une chaîne de sites
d’événements (sources, collisions, disparition) : P 1 , P 2 …, P n …
– Attribuer une valeur numérique à une variable aléatoire, X, qui dépend du déroulement
du processus statistique. Cette valeur est attribuée au moment de chaque événement (i.e.
collision) au point P i considéré. Chaque événement délivre son « quantum d’information ».
X est appelé estimateur de (P). La valeur attribuée à X est appelée « encaissement »
« score » (scoring).
– Fixer des « règles du jeu », c’est-à-dire les densités de probabilités avec lesquelles les
événements sont choisis. Cela revient à choisir aléatoirement et en conformité avec les
caractéristiques physiques de la source de particules (distribution spatiale, spectre en
énergie, distribution angulaire) et les lois physiques qui régissent leurs interactions avec la
matière, leur parcours, leur énergie et leur direction après collision. Les densités de probabilité utilisées pour simuler l’histoire des particules doivent être telles que E[X], espérance
mathématique de X, satisfasse :
E[X] = (P)
– Réaliser le jeu N fois de manière indépendante : on simule l’histoire de N paquets,
appelés batchs, d’un nombre donné de particules (1000 particules par exemple, pour fixer
les idées). Chacune de ces réalisations, k, fournit une valeur X k de l’estimateur X de Ψ(P).
– Estimer la grandeur (P) cherchée (cf. Annexe 5).
La grandeur (P) est estimée par la valeur moyenne
de son estimateur X :
La loi des grands nombres permet d’écrire :
La détermination de (P) doit être complétée par l’évaluation de l’intervalle de confiance
C(e) associé à la valeur moyenne estimée
. Pour cela, on applique le théorème centrallimite qui permet d’affirmer que
a une répartition gaussienne :
est la variance de la moyenne
.
où E[ ] note l’espérance mathématique.
X N
X N
1
N
---X k
k 1
ϭ
N
Α
ϭ
X N
N ϱ
→
lim
P
( )
ϭ
X N
X N
C e
( ) probabilité P
( ) e
Ϫ
X n P
( )
р
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}
ϭ
C e
( )
1
X N
2
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P
( ) e
Ϫ
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ϭ
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X N
X N
X N
2
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