10 - Propagation des rayonnements : méthodes et codes de calcul
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avec :
: opérateur « départ des particules par fuite et collisions » dans les
cellules de l’espace des phases.
( ) : opérateur « arrivées des particules par collision » dans les cellules de
l’espace des phases.
S : terme source.
φ : flux de particules représenté par un vecteur colonne.
L’équation (10.6) peut être réécrite :
φ = A –1 B φ + A –1 S
(10.7)
où A –1 est l’inverse de A.
Cette équation est alors résolue de manière itérative :
φ (n) = A –1 B φ (n – 1) + A –1 S
φ (n) converge vers la solution φ pour n suffisamment grand.
10.5.2. Principe de la résolution en géométrie sphérique
Il s’agit d’un problème unidimensionnel en raison de la symétrie sphérique (Devillers,
1970). Le flux scalaire ne dépend que du rayon r joignant le point considéré au centre de
la sphère.
En coordonnées sphériques l’équation du transport s’écrit :
(10.8)
μ’ = cosθ’ (=
> ’) : direction avant collision.
μ = cosθ (=
> ) : direction après collision.
φ (r, E, μ) : flux en phase.
Figure 10.17. Géométrie sphérique unidimensionnelle. Coordonnées sphériques.
A ⍀ grad ⌺ t
ϩ
и
ϵ
B
EЈ
d
⍀
d Ј⌺ s
#
#
ϵ
␮
r
2
---Ѩ
Ѩr
---- - r
2 ␾ r E ␮
, ,
(
)
[
]
1
2
-- -
Ѩ
Ѩ␮
------ - 1 ␮
2
Ϫ
(
)␾ r E ␮
, ,
(
)
[
] ⌺ t r E
,
( )␾ r E ␮
, ,
(
)
ϩ
ϩ
S
= r E ␮
, ,
(
)␾ r E ␮
, ,
(
)
␮Ј
d
1
Ϫ
+1
#
⌺ s
0
ϱ
# r EЈ
,
E
→ ␮ s
,
(
) ␾ r E ␮
, ,
(
)dEЈ
ϩ
Oz ⍀
Oz ⍀
␮ S ⍀ ⍀Ј
и
␮␮Ј
1 ␮
2
Ϫ
(
) 1 ␮Ј
2
Ϫ
(
)
ϩ
␸ S
cos
ϭ
ϭ