Nanocristaux semi-conducteurs
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fi2ai
E: , , =E, +2m,R2
où E, est la largeur de la bande interdite du semi-conducteur massif. Au lieu d’avoir un quasicontinuum de niveaux comme dans le cas du matériau massif (cas que l’on retrouve en faisant
tendre R vers l’infini), on a maintenant un ensemble de niveaux discrets. Les premiers
niveaux sont Is avec 1 = O, n = 1 et ~1 = n, puis Ip avec I = I, n = 1 et all = 4,49, puis Id, 2s,
etc. Rappelons que la fonction d’onde totale de l’électron est
où uc est la partie périodique correspondant à la bande de conduction.
Si nous supposons que la bande de valence est non dégénérée, la fonction d’onde enveloppe pour le trou obéit à une équation similaire dont les fonctions propres sont les mêmes
que pour l’électron. L’énergie propre correspondante s’écrit
La encore, la fonction d’onde totale est le produit de la fonction enveloppe par une partie
périodique uv(rh).
Après avoir traité séparément le mouvement de l’électron et du trou, on peut ensuite, en
deuxième approximation, tenir compte de l’interaction coulombienne par la théorie des
perturbations.
3.3 Discussion des approximations
Dans le traitement précédent, un certain nombre d’hypothèses ont été faites. D’abord, la boîte
a été supposée sphérique. Le calcul est également faisable pour une boîte parallélépipédique.
Le cas de particules ellipsoïdales s’écartant peu de la forme sphérique a aussi été considéré
[6]. Les conclusions générales, niveaux discrets et énergie de confinement, dépendent peu de
la forme des nanocristaux. La non-sphéricité peut par contre avoir des conséquences sur la
structure fine des niveaux. Nous y reviendrons dans la section 4.3. Nous avons ensuite
supposé les bandes paraboliques. L‘énergie de confinement étant inversement proportionnelle
à la masse effective, cf. équations (6) et (8), et la masse effective de l’électron étant plus
petite, la non-parabolicité se manifeste surtout pour la bande de conduction. On peut en tenir
compte [7] ce qui a pour effet de diminuer l’énergie de confinement.
Nous avons aussi supposé une barrière de confinement infiniment haute qui impose à la
fonction d’onde enveloppe de s’annuler à l’interface. En réalité, la barrière de potentiel est
d’environ 2 eV. Avec une barrière finie, la fonction d’onde est légèrement plus étendue et
l’énergie de confinement par conséquent plus faible. Pour écrire l’expression de l’énergie
d’interaction coulombienne entre électron et trou, dernier terme du Hamiltonien dans l’équation (3), nous avons encore supposé que nanocristal et matrice hôte ont la même permittivité.
En réalité, cette énergie d’interaction coulombienne est la somme du dernier terme de notre
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E: , , =E, +2m,R2
où E, est la largeur de la bande interdite du semi-conducteur massif. Au lieu d’avoir un quasicontinuum de niveaux comme dans le cas du matériau massif (cas que l’on retrouve en faisant
tendre R vers l’infini), on a maintenant un ensemble de niveaux discrets. Les premiers
niveaux sont Is avec 1 = O, n = 1 et ~1 = n, puis Ip avec I = I, n = 1 et all = 4,49, puis Id, 2s,
etc. Rappelons que la fonction d’onde totale de l’électron est
où uc est la partie périodique correspondant à la bande de conduction.
Si nous supposons que la bande de valence est non dégénérée, la fonction d’onde enveloppe pour le trou obéit à une équation similaire dont les fonctions propres sont les mêmes
que pour l’électron. L’énergie propre correspondante s’écrit
La encore, la fonction d’onde totale est le produit de la fonction enveloppe par une partie
périodique uv(rh).
Après avoir traité séparément le mouvement de l’électron et du trou, on peut ensuite, en
deuxième approximation, tenir compte de l’interaction coulombienne par la théorie des
perturbations.
3.3 Discussion des approximations
Dans le traitement précédent, un certain nombre d’hypothèses ont été faites. D’abord, la boîte
a été supposée sphérique. Le calcul est également faisable pour une boîte parallélépipédique.
Le cas de particules ellipsoïdales s’écartant peu de la forme sphérique a aussi été considéré
[6]. Les conclusions générales, niveaux discrets et énergie de confinement, dépendent peu de
la forme des nanocristaux. La non-sphéricité peut par contre avoir des conséquences sur la
structure fine des niveaux. Nous y reviendrons dans la section 4.3. Nous avons ensuite
supposé les bandes paraboliques. L‘énergie de confinement étant inversement proportionnelle
à la masse effective, cf. équations (6) et (8), et la masse effective de l’électron étant plus
petite, la non-parabolicité se manifeste surtout pour la bande de conduction. On peut en tenir
compte [7] ce qui a pour effet de diminuer l’énergie de confinement.
Nous avons aussi supposé une barrière de confinement infiniment haute qui impose à la
fonction d’onde enveloppe de s’annuler à l’interface. En réalité, la barrière de potentiel est
d’environ 2 eV. Avec une barrière finie, la fonction d’onde est légèrement plus étendue et
l’énergie de confinement par conséquent plus faible. Pour écrire l’expression de l’énergie
d’interaction coulombienne entre électron et trou, dernier terme du Hamiltonien dans l’équation (3), nous avons encore supposé que nanocristal et matrice hôte ont la même permittivité.
En réalité, cette énergie d’interaction coulombienne est la somme du dernier terme de notre