Optique des semi-conducteurs
53
Le tableau 4.1 rappelle quelques résultats classiques sur ces fonctions à 3 et 2
dimensions. Les quantités caractéristiques de ces états s'expriment à partir d'un Rydberg
effectif R X
* = 13,6eV--qui P 1
et dun rayon de Bohr effectif a i = 0.053nm--& mg
vaut typiquement de 1 à 100 meV.
mo &2
de 1 à 50 nm, ce qui justifie a posteriori
P
I'EFA pour ces excitons de Wannier. Dans beaucoup de cas, me << mh, et donc ces quantités
sont proches de celles d'un donneur.
Il est bien entendu possible de trouver dans la littérature des calculs plus poussés, prenant
en particulier en compte la dégénérescence de la bande de valence [38]. Mais il est plus
important, pour notre propos, de compléter nos points de vue de la même réalité.
4.3.2 L'exciton dans l'approximation de la masse effective : une vue dans l'espace réciproque
I1 est intéressant de ne pas s'en tenir à une représentation de l'exciton sur l'espace réel des
fonctions de Wannier, mais d'en avoir une vision "transformée de Fourier" dans l'espace des k.
Cela peut se faire à propos de nombreux problèmes mais il se trouve que nous aurons besoin
dans la suite d'écrire les opérateurs création et annihilation d'exciton. Je suppose le lecteur
familiarisé avec le formalisme de la seconde quantification. Si ce n'est pas le cas, il pourra
s'initier [39] et trouvera un premier exercice d'application facile dans ce qui suit et le
paragraphe 4.4.2.
Nous allons construire les opérateurs << excitons D X i , K et X,,K par combinaison
électron D et << trou », ce qui est en principe toujours possible, ces
linéaire des opérateurs
derniers formant une base complète. Ce sont :
aie , a k e pour les électrons et
Bkh + - - -akh, Bkh =ai pour les trous.
e
Dans le cadre de I'EFA (appliquée sur la base des fonctions de Wannier) l'opérateur
création d'exciton de niveau n et de vecteur donde K pourra donc s'écrire :
L'expression se simplifie en utilisant le fait que les fonctions de Wannier forment une
base orthonormée, ce qui introduit les conditions Ré = Re et R i = R h . Ensuite, les choses
s'éclairent avec le changement de variable :
K = k, + k h
-
R = (mere +mhq,)/M
(4.6)
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Le tableau 4.1 rappelle quelques résultats classiques sur ces fonctions à 3 et 2
dimensions. Les quantités caractéristiques de ces états s'expriment à partir d'un Rydberg
effectif R X
* = 13,6eV--qui P 1
et dun rayon de Bohr effectif a i = 0.053nm--& mg
vaut typiquement de 1 à 100 meV.
mo &2
de 1 à 50 nm, ce qui justifie a posteriori
P
I'EFA pour ces excitons de Wannier. Dans beaucoup de cas, me << mh, et donc ces quantités
sont proches de celles d'un donneur.
Il est bien entendu possible de trouver dans la littérature des calculs plus poussés, prenant
en particulier en compte la dégénérescence de la bande de valence [38]. Mais il est plus
important, pour notre propos, de compléter nos points de vue de la même réalité.
4.3.2 L'exciton dans l'approximation de la masse effective : une vue dans l'espace réciproque
I1 est intéressant de ne pas s'en tenir à une représentation de l'exciton sur l'espace réel des
fonctions de Wannier, mais d'en avoir une vision "transformée de Fourier" dans l'espace des k.
Cela peut se faire à propos de nombreux problèmes mais il se trouve que nous aurons besoin
dans la suite d'écrire les opérateurs création et annihilation d'exciton. Je suppose le lecteur
familiarisé avec le formalisme de la seconde quantification. Si ce n'est pas le cas, il pourra
s'initier [39] et trouvera un premier exercice d'application facile dans ce qui suit et le
paragraphe 4.4.2.
Nous allons construire les opérateurs << excitons D X i , K et X,,K par combinaison
électron D et << trou », ce qui est en principe toujours possible, ces
linéaire des opérateurs
derniers formant une base complète. Ce sont :
aie , a k e pour les électrons et
Bkh + - - -akh, Bkh =ai pour les trous.
e
Dans le cadre de I'EFA (appliquée sur la base des fonctions de Wannier) l'opérateur
création d'exciton de niveau n et de vecteur donde K pourra donc s'écrire :
L'expression se simplifie en utilisant le fait que les fonctions de Wannier forment une
base orthonormée, ce qui introduit les conditions Ré = Re et R i = R h . Ensuite, les choses
s'éclairent avec le changement de variable :
K = k, + k h
-
R = (mere +mhq,)/M
(4.6)