Optique des semi-conducteurs
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dopage, où l'on modifie le nombre de particules qui peuplent les états de la structure, et qui se
décrit bien sous l'approximation à un électron, tant que le dopage reste moyen. Dans ce
dernier cadre, les excitations élémentaires du système sont les "paires électron-trou", qui
fournissent une description satisfaisante de la conductivité intrinsèque, et même de
l'absorption optique pour les énergies assez nettement supérieures au gap. Parler d'exciton,
c'est aller au-delà de cette approximation à un électron. Dans ce domaine comme dans
d'autres, l'intuition physique, guidée par l'expérience, a précédé un établissement théorique
rigoureux. Je m'en tiendrai (par goût et par nécessité) à l'approche la plus intuitive.
Sur les excitons, le classique, aujourd'hui très vieilli, mais restant pour certains
problèmes théoriques une référence indispensable, est le livre de Knox [35]. Comme livre de
revue d'avant les hétérostructures, il faut citer celui édité par E.I. Rashba et M.D. Sturge [36].
On trouvera enfin une discussion critique et récente des théories naïves comme celle présentée
ici, dans une contribution de M. Combescot [37]. Dans les hétérostructures, les excitons sont
présents dans toute revue ou livre consacré aux propriétés optiques, et par exemple dans les
références [4] pour la théorie, [5,6] pour des résultats expérimentaux. Cependant, le récent
compte rendu d'École édité par Burstein et Weisbuch [27] est sans doute aujourd'hui le plus
complet.
4.3.1 L'exciton dans l'approximation de la masse effective : une vue dans l'espace réel
Considérons, formellement, un électron supplémentaire placé dans la bande de conduction.
Les interactions entre cette particule et les N autres électrons de la bande de valence sont, par
définition, prises en compte dans la valeur du gap. Retirer maintenant un électron dans la
bande de valence va modifier ces interactions. C'est cette modification qui est approchée par
une interaction coulombienne entre électron et trou. Il en résulte des états liés électron-trou
qui ne peuvent plus se représenter dans un schéma de bande traditionnel, mais dans un schéma
à deux particules (Cf. fig.4.4).
Cette interaction coulombienne se traite ensuite dans le cadre de l'approximation de la
masse effective, avec les réserves usuelles sur sa validité : il faut que la fonction d'onde
décrivant le mouvement relatif électron-trou (mouvement interne) soit délocalisée sur un
grand nombre de cellules élémentaires, ce qui se vérifiera a posteriori dans tous les semiconducteurs usuels. On parle alors d'exciton de Wannier, par opposition aux excitons de
Frenkel, où l'électron et le trou restent localisés ensemble autour d'une même cellule. Dans le
même esprit pragmatique, on pondère l'interaction coulombienne par une constante
diélectrique E, dont la valeur précise dépendra de la fréquence caractéristique du mouvement
interne de façon autoconsistante. En pratique, on prendra la valeur statique, sauf si le
mouvement interne est plus rapide que celui des phonons optiques, ce qui se traduit par
RE, > hq,h,LO ; on prendra alors la valeur de E diminuée de leur contribution.
On se limite ici au cas de deux bandes paraboliques et non dégénérées de masses
effectives me et mh. La suite du raisonnement est exposée ci-dessous à 3 dimensions, mais est
facilement généralisable à 2 D. Une écriture générale de fonction d'onde à deux particules,
particulièrement pédagogique, est obtenue sur la base des fonctions de Wannier
(Cf. parag. 2.2.4.2) :
v(re ,Q) = ~ - 1 C W R , ,Rh )w(re)w(Q )
R e , R h
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dopage, où l'on modifie le nombre de particules qui peuplent les états de la structure, et qui se
décrit bien sous l'approximation à un électron, tant que le dopage reste moyen. Dans ce
dernier cadre, les excitations élémentaires du système sont les "paires électron-trou", qui
fournissent une description satisfaisante de la conductivité intrinsèque, et même de
l'absorption optique pour les énergies assez nettement supérieures au gap. Parler d'exciton,
c'est aller au-delà de cette approximation à un électron. Dans ce domaine comme dans
d'autres, l'intuition physique, guidée par l'expérience, a précédé un établissement théorique
rigoureux. Je m'en tiendrai (par goût et par nécessité) à l'approche la plus intuitive.
Sur les excitons, le classique, aujourd'hui très vieilli, mais restant pour certains
problèmes théoriques une référence indispensable, est le livre de Knox [35]. Comme livre de
revue d'avant les hétérostructures, il faut citer celui édité par E.I. Rashba et M.D. Sturge [36].
On trouvera enfin une discussion critique et récente des théories naïves comme celle présentée
ici, dans une contribution de M. Combescot [37]. Dans les hétérostructures, les excitons sont
présents dans toute revue ou livre consacré aux propriétés optiques, et par exemple dans les
références [4] pour la théorie, [5,6] pour des résultats expérimentaux. Cependant, le récent
compte rendu d'École édité par Burstein et Weisbuch [27] est sans doute aujourd'hui le plus
complet.
4.3.1 L'exciton dans l'approximation de la masse effective : une vue dans l'espace réel
Considérons, formellement, un électron supplémentaire placé dans la bande de conduction.
Les interactions entre cette particule et les N autres électrons de la bande de valence sont, par
définition, prises en compte dans la valeur du gap. Retirer maintenant un électron dans la
bande de valence va modifier ces interactions. C'est cette modification qui est approchée par
une interaction coulombienne entre électron et trou. Il en résulte des états liés électron-trou
qui ne peuvent plus se représenter dans un schéma de bande traditionnel, mais dans un schéma
à deux particules (Cf. fig.4.4).
Cette interaction coulombienne se traite ensuite dans le cadre de l'approximation de la
masse effective, avec les réserves usuelles sur sa validité : il faut que la fonction d'onde
décrivant le mouvement relatif électron-trou (mouvement interne) soit délocalisée sur un
grand nombre de cellules élémentaires, ce qui se vérifiera a posteriori dans tous les semiconducteurs usuels. On parle alors d'exciton de Wannier, par opposition aux excitons de
Frenkel, où l'électron et le trou restent localisés ensemble autour d'une même cellule. Dans le
même esprit pragmatique, on pondère l'interaction coulombienne par une constante
diélectrique E, dont la valeur précise dépendra de la fréquence caractéristique du mouvement
interne de façon autoconsistante. En pratique, on prendra la valeur statique, sauf si le
mouvement interne est plus rapide que celui des phonons optiques, ce qui se traduit par
RE, > hq,h,LO ; on prendra alors la valeur de E diminuée de leur contribution.
On se limite ici au cas de deux bandes paraboliques et non dégénérées de masses
effectives me et mh. La suite du raisonnement est exposée ci-dessous à 3 dimensions, mais est
facilement généralisable à 2 D. Une écriture générale de fonction d'onde à deux particules,
particulièrement pédagogique, est obtenue sur la base des fonctions de Wannier
(Cf. parag. 2.2.4.2) :
v(re ,Q) = ~ - 1 C W R , ,Rh )w(re)w(Q )
R e , R h