46
R. Plane1
les fonctions enveloppes. D'autre part, l'application de l'opérateur p, une dérivation, à un
produit donne deux termes. I1 en découle que :
Her (Vf lA.PlVi) = C k F f IAdPdlFi) (uf lui) + (FflFi) (uf(AdPdlui)]
(4.2)
d=x,y,z
où d repère la direction de la polarisation.
Nous allons maintenant discuter ces deux termes séparément.
4.1.1 Transitions intrabandes
Dans le premier terme du hamiltonien d'interaction, c'est la fonction enveloppe qui est
dérivée. Le produit scalaire (uflui) n'est non nul que si ui = u f , puisque ces fonctions
forment une base orthonormée. Ce terme correspond donc à des transitions intrabandes, c'està-dire entre un état plein et un état vide de la même bande. Cela ne peut se trouver que dans
un matériau dopé.
Il y a aussi dans ce terme une intégrale sur les fonctions enveloppes, modulées par la
variation exponentielle du champ : dans un matériau massif, il s'agit du terme
A k i l e i h i -kr -drld3r, qui introduit la condition de conservation du moment au cours de la
transition : ki - kf = q , le (très petit) vecteur d'onde du champ. Cette condition ne peut, en
pratique, être satisfaite à l'intérieur d'une même bande, à cause de la très grande pente de la
relation de dispersion de la lumière. De fait, ce qu'on appelle "l'absorption due aux porteurs
libres" dans un semi-conducteur dopé n'est possible qu'en faisant intervenir des processus
supplémentaires de relaxation du moment (phonons). Elle est donc intimement reliée à la
conductivité (YC p.296).
Par contre, si l'un des états considéré n'a plus la forme de Bloch, il est possible
d'envisager de telles transitions intrabandes directes. C'est le cas à partir d'un état lié
d'impureté, d'intérêt surtout académique. C'est surtout vrai dans les hétérostructures, qui ont
ouvert, fondées sur ce principe, de nouvelles possibilités d'études et de dispositifs optiques
dans le domaine de l'infrarouge moyen. J'y reviendrai plus loin en détail au paragraphe 4.9.
4.1.2 Transitions interbandes
Dans le second terme de l'expression (4.2), la dérivation s'applique aux fonctions u. Il y a donc
possibilité de changer de bande dans la transition : les énergies mises en jeu sont plutôt
proches du gap, ou supérieures, et les transitions interbandes peuvent concerner l'optique du
proche infrarouge et du visible.
De fait, l'élément de matrice (uflpdlui), qui joue un rôle central dans la théorie des
transitions optiques interbandes, est le même qui intervient dans la théorie de perturbation de
Kane de la structure de bande (Cf. parag. 3.3.2). Cela renforce l'intérêt d'exprimer les états de
bande dans l'esprit de cette théorie. L'étude de cet élément de matrice, conduit à une première
série de règles de sélection présentées au paragraphe 4.2.1.
Dans ce terme, vient aussi le produit scalaire des fonctions enveloppes modulées par le
champ. Dans un semi-conducteur massif c'est l e i h i -kr -drld3r qui exprime donc la
conservation du moment. Avec, en pratique, q = O, on parle de transition optique verticale, et
R. Plane1
les fonctions enveloppes. D'autre part, l'application de l'opérateur p, une dérivation, à un
produit donne deux termes. I1 en découle que :
Her (Vf lA.PlVi) = C k F f IAdPdlFi) (uf lui) + (FflFi) (uf(AdPdlui)]
(4.2)
d=x,y,z
où d repère la direction de la polarisation.
Nous allons maintenant discuter ces deux termes séparément.
4.1.1 Transitions intrabandes
Dans le premier terme du hamiltonien d'interaction, c'est la fonction enveloppe qui est
dérivée. Le produit scalaire (uflui) n'est non nul que si ui = u f , puisque ces fonctions
forment une base orthonormée. Ce terme correspond donc à des transitions intrabandes, c'està-dire entre un état plein et un état vide de la même bande. Cela ne peut se trouver que dans
un matériau dopé.
Il y a aussi dans ce terme une intégrale sur les fonctions enveloppes, modulées par la
variation exponentielle du champ : dans un matériau massif, il s'agit du terme
A k i l e i h i -kr -drld3r, qui introduit la condition de conservation du moment au cours de la
transition : ki - kf = q , le (très petit) vecteur d'onde du champ. Cette condition ne peut, en
pratique, être satisfaite à l'intérieur d'une même bande, à cause de la très grande pente de la
relation de dispersion de la lumière. De fait, ce qu'on appelle "l'absorption due aux porteurs
libres" dans un semi-conducteur dopé n'est possible qu'en faisant intervenir des processus
supplémentaires de relaxation du moment (phonons). Elle est donc intimement reliée à la
conductivité (YC p.296).
Par contre, si l'un des états considéré n'a plus la forme de Bloch, il est possible
d'envisager de telles transitions intrabandes directes. C'est le cas à partir d'un état lié
d'impureté, d'intérêt surtout académique. C'est surtout vrai dans les hétérostructures, qui ont
ouvert, fondées sur ce principe, de nouvelles possibilités d'études et de dispositifs optiques
dans le domaine de l'infrarouge moyen. J'y reviendrai plus loin en détail au paragraphe 4.9.
4.1.2 Transitions interbandes
Dans le second terme de l'expression (4.2), la dérivation s'applique aux fonctions u. Il y a donc
possibilité de changer de bande dans la transition : les énergies mises en jeu sont plutôt
proches du gap, ou supérieures, et les transitions interbandes peuvent concerner l'optique du
proche infrarouge et du visible.
De fait, l'élément de matrice (uflpdlui), qui joue un rôle central dans la théorie des
transitions optiques interbandes, est le même qui intervient dans la théorie de perturbation de
Kane de la structure de bande (Cf. parag. 3.3.2). Cela renforce l'intérêt d'exprimer les états de
bande dans l'esprit de cette théorie. L'étude de cet élément de matrice, conduit à une première
série de règles de sélection présentées au paragraphe 4.2.1.
Dans ce terme, vient aussi le produit scalaire des fonctions enveloppes modulées par le
champ. Dans un semi-conducteur massif c'est l e i h i -kr -drld3r qui exprime donc la
conservation du moment. Avec, en pratique, q = O, on parle de transition optique verticale, et