Optique des semi-conducteurs
45
e
m
d'interaction, en jauge de Coulomb, la plus utilisée dans les solides est : He, =- A.p où A est
le potentiel vecteur du champ oscillant E :
et l'interaction est traitée en perturbation dépendant du temps.
Ce hamiltonien est évidemment commode dans un système physique comportant des
états délocalisés. On peut montrer [32] qu'il se réduit, dans le cadre de l'approximation
dipolaire où le vecteur d'onde de la lumière est négligé, à Her = -er.E, dont la signification
physique est plus parlante, du moins pour un dipôle ponctuel.
Selon le régime temporel étudié, régime cohérent (effet Stark optique par exemple) ou au
contraire obtention dun état excité en quasi-équilibre (création de paires électron-trou), la
partie dépendant du temps de ce hamiltonien fera l'objet dun traitement différent. Cette
discussion est introduite dans cette École par J.Y.Bigot. Je vais dans la suite discuter
l'intensité du couplage et emprunterai des exemples à des expériences quasi continues
d'absorption et de luminescence, donc relatives au régime des durées longues. Et ceci dans
l'esprit de la remarque faite en fin de section 1.
4.1 Eléments de matrice de l'opérateur p
L'intensité du couplage, donc les propriétés optiques, vont reposer sur les éléments de matrice
du produit scalaire A.p , qui connectent un état initial vi et un état final yf de la transition :
(yf (A.plvi). En développant ce produit scalaire, il vient :
ce qui permet de décrire la relation entre la polarisation du champ et les états couplés. La
première écriture est bien adaptée à une excitation polarisée linéairement, et la seconde,
construite à partir de combinaisons linéaires ad hoc, à une excitation polarisée circulairement
dans le plan x,y.
Comme on l'a vu, les états du semi-conducteur massif idéal prennent la forme de Bloch
(Cf. éq. 2.1) ; de plus, les états d'impuretés peu profondes comme ceux des hétérostructures
sont construits sur cette base dans le cadre de l'approximation de la fonction enveloppe. On va
donc s'intéresser aux fonctions d'onde de la forme l y ~ i / f ) = Fi/f uilf, où u est une fonction
rapidement variable, périodique comme le réseau cristallin (Cf. parag. 3.1.4) ; comme
d'habitude, nous supposerons que nous traitons des états proches dun extremum de la bande et
négligerons sa dépendance en k autour de cet extremum. F est la fonction enveloppe, solution
dune équation de Schrodinger effective de type (3.4).
Pour calculer l'élément de matrice (yfIAplyi), on peut procéder rigoureusement dans
l'esprit de la théorie quantique des solides, en remplaçant l'intégrale sur tout l'espace par une
somme d'intégrales (égales) sur la cellule unité, pondérées par la valeur de la fonction
enveloppe sur le site (YC p.248). On peut aussi aller plus vite à la discussion physique en
supposant, une fois de plus, que la fonction enveloppe et le champ sont lentement variables à
l'échelle de la cellule unité. Cela permet de séparer les intégrations sur les fonctions u et sur
45
e
m
d'interaction, en jauge de Coulomb, la plus utilisée dans les solides est : He, =- A.p où A est
le potentiel vecteur du champ oscillant E :
et l'interaction est traitée en perturbation dépendant du temps.
Ce hamiltonien est évidemment commode dans un système physique comportant des
états délocalisés. On peut montrer [32] qu'il se réduit, dans le cadre de l'approximation
dipolaire où le vecteur d'onde de la lumière est négligé, à Her = -er.E, dont la signification
physique est plus parlante, du moins pour un dipôle ponctuel.
Selon le régime temporel étudié, régime cohérent (effet Stark optique par exemple) ou au
contraire obtention dun état excité en quasi-équilibre (création de paires électron-trou), la
partie dépendant du temps de ce hamiltonien fera l'objet dun traitement différent. Cette
discussion est introduite dans cette École par J.Y.Bigot. Je vais dans la suite discuter
l'intensité du couplage et emprunterai des exemples à des expériences quasi continues
d'absorption et de luminescence, donc relatives au régime des durées longues. Et ceci dans
l'esprit de la remarque faite en fin de section 1.
4.1 Eléments de matrice de l'opérateur p
L'intensité du couplage, donc les propriétés optiques, vont reposer sur les éléments de matrice
du produit scalaire A.p , qui connectent un état initial vi et un état final yf de la transition :
(yf (A.plvi). En développant ce produit scalaire, il vient :
ce qui permet de décrire la relation entre la polarisation du champ et les états couplés. La
première écriture est bien adaptée à une excitation polarisée linéairement, et la seconde,
construite à partir de combinaisons linéaires ad hoc, à une excitation polarisée circulairement
dans le plan x,y.
Comme on l'a vu, les états du semi-conducteur massif idéal prennent la forme de Bloch
(Cf. éq. 2.1) ; de plus, les états d'impuretés peu profondes comme ceux des hétérostructures
sont construits sur cette base dans le cadre de l'approximation de la fonction enveloppe. On va
donc s'intéresser aux fonctions d'onde de la forme l y ~ i / f ) = Fi/f uilf, où u est une fonction
rapidement variable, périodique comme le réseau cristallin (Cf. parag. 3.1.4) ; comme
d'habitude, nous supposerons que nous traitons des états proches dun extremum de la bande et
négligerons sa dépendance en k autour de cet extremum. F est la fonction enveloppe, solution
dune équation de Schrodinger effective de type (3.4).
Pour calculer l'élément de matrice (yfIAplyi), on peut procéder rigoureusement dans
l'esprit de la théorie quantique des solides, en remplaçant l'intégrale sur tout l'espace par une
somme d'intégrales (égales) sur la cellule unité, pondérées par la valeur de la fonction
enveloppe sur le site (YC p.248). On peut aussi aller plus vite à la discussion physique en
supposant, une fois de plus, que la fonction enveloppe et le champ sont lentement variables à
l'échelle de la cellule unité. Cela permet de séparer les intégrations sur les fonctions u et sur