Optique des semi-conducteurs
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massifs. Mais, étant valable aux petits k et fournissant des résultats analytiques, elle est
particulièrement adaptée à l'esprit de I'EFA, dont elle forme d'ailleurs l'une des fondations
théoriques possibles [13]. Ici, nous nous contenterons den tirer des valeurs de masse effective
dépendant de l'énergie, qu'il sera possible d'"injecter" dans un calcul EFA, utilisant par
exemple les matrices de transfert.
Une fois de plus, je prendrai exemple sur la structure de bande la plus courante des
matériaux composés de type zinc-blende, avec comme point de départ l'ensemble bien connu
des 4x2 bandes de conduction et de valence (Cf. parag. 2.2.1 et fig. 2.2) qui diagonalise
l'interaction spin-orbite. La méthode consiste à considérer cet ensemble comme suffisamment
éloigné des autres bandes pour constituer un sous-espace pertinent. On peut alors y
diagonaliser le hamiltonien perturbé. Plus précisément, les fonctions d'onde (de Bloch) sont de
la forme :
9h.k (r) = Uh,k (r) eik.r, fonction propre du hamiltonien total H,,, = -p
+ v
[A I
mais dont la partie périodique u&,k (r) est fonction propre du hamiltonien de Kane :
1
1
HKaneuhk (r)= -(p2
+2fik.p+h2k2)+ V =Ehbuh,k (r)
(3.14)
I1 est présenté sous forme matricielle dans le tableau 3.1, sur la base des fonctions Uno,
supposées connues. L'origine des énergies est prise en haut de la BV, E, est le gap et Aso
l'interaction spin-orbite. Naturellement, on a quantifié l'opérateur J le long de k, ce qui peut
toujours se faire dans le semi-conducteur massif. Les éléments de matrice des opérateurs p
seront à nouveau rencontrés et discutés à propos des règles de sélection des transitions
optiques interbandes (parag. 4.2.1). P est le fameux élément de matrice de Kane :
ip = (SlPlX) = (SIPIy) = (SlPIZ)
(3.15)
En pratique, dans la plupart des matériaux usuels, P2 /mo = lOeV . Ce fait est discuté de
façon intéressante dans [YC. p.661.
Les quatre valeurs propres de l'énergie (dégénérées deux fois par renversement
du temps) s'obtiennent en annulant le déterminant. En posant par commodité
E* (k) = E(k) - A2k2 /2m0, il vient :
- d'une part :
[2mo
E*= O,
(3.16 a)
c'est la bande de trous lourds HH, non affectée par la perturbation, car sa fonction d'onde
"atomique" pointe perpendiculairement à k.
- d'autre part :
(E*-EG)E* (E*+Aso)=fi2k2P2/mi (E*+2Aso/3)
(3.16 b)
dont les trois racines sont les trois bandes légères BC, LH et SO. On obtient explicitement
k(E) sous forme analytique, ce qui est la quantité qu'il nous faut dans un calcul de matrice de
transfert, par exemple. La tendance générale est à un alourdissement de la masse avec
l'énergie cinétiaue, d'autant plus marqué que le gap est petit. Notons qu'il est possible aussi
d'imposer l'énergie dans le gap (E* - E G ) < O , ce qui fournit la relation entre l'énergie et le
vecteur d'onde imaginaire des ondes évanescentes dans le matériau considéré et de prendre en
compte g
u
&
ces effets de non-parabolicité dans I'EFA.
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massifs. Mais, étant valable aux petits k et fournissant des résultats analytiques, elle est
particulièrement adaptée à l'esprit de I'EFA, dont elle forme d'ailleurs l'une des fondations
théoriques possibles [13]. Ici, nous nous contenterons den tirer des valeurs de masse effective
dépendant de l'énergie, qu'il sera possible d'"injecter" dans un calcul EFA, utilisant par
exemple les matrices de transfert.
Une fois de plus, je prendrai exemple sur la structure de bande la plus courante des
matériaux composés de type zinc-blende, avec comme point de départ l'ensemble bien connu
des 4x2 bandes de conduction et de valence (Cf. parag. 2.2.1 et fig. 2.2) qui diagonalise
l'interaction spin-orbite. La méthode consiste à considérer cet ensemble comme suffisamment
éloigné des autres bandes pour constituer un sous-espace pertinent. On peut alors y
diagonaliser le hamiltonien perturbé. Plus précisément, les fonctions d'onde (de Bloch) sont de
la forme :
9h.k (r) = Uh,k (r) eik.r, fonction propre du hamiltonien total H,,, = -p
+ v
[A I
mais dont la partie périodique u&,k (r) est fonction propre du hamiltonien de Kane :
1
1
HKaneuhk (r)= -(p2
+2fik.p+h2k2)+ V =Ehbuh,k (r)
(3.14)
I1 est présenté sous forme matricielle dans le tableau 3.1, sur la base des fonctions Uno,
supposées connues. L'origine des énergies est prise en haut de la BV, E, est le gap et Aso
l'interaction spin-orbite. Naturellement, on a quantifié l'opérateur J le long de k, ce qui peut
toujours se faire dans le semi-conducteur massif. Les éléments de matrice des opérateurs p
seront à nouveau rencontrés et discutés à propos des règles de sélection des transitions
optiques interbandes (parag. 4.2.1). P est le fameux élément de matrice de Kane :
ip = (SlPlX) = (SIPIy) = (SlPIZ)
(3.15)
En pratique, dans la plupart des matériaux usuels, P2 /mo = lOeV . Ce fait est discuté de
façon intéressante dans [YC. p.661.
Les quatre valeurs propres de l'énergie (dégénérées deux fois par renversement
du temps) s'obtiennent en annulant le déterminant. En posant par commodité
E* (k) = E(k) - A2k2 /2m0, il vient :
- d'une part :
[2mo
E*= O,
(3.16 a)
c'est la bande de trous lourds HH, non affectée par la perturbation, car sa fonction d'onde
"atomique" pointe perpendiculairement à k.
- d'autre part :
(E*-EG)E* (E*+Aso)=fi2k2P2/mi (E*+2Aso/3)
(3.16 b)
dont les trois racines sont les trois bandes légères BC, LH et SO. On obtient explicitement
k(E) sous forme analytique, ce qui est la quantité qu'il nous faut dans un calcul de matrice de
transfert, par exemple. La tendance générale est à un alourdissement de la masse avec
l'énergie cinétiaue, d'autant plus marqué que le gap est petit. Notons qu'il est possible aussi
d'imposer l'énergie dans le gap (E* - E G ) < O , ce qui fournit la relation entre l'énergie et le
vecteur d'onde imaginaire des ondes évanescentes dans le matériau considéré et de prendre en
compte g
u
&
ces effets de non-parabolicité dans I'EFA.