Optique des semi-conducteurs
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l'énergie, la structure sera toujours entourée de barrières suffisamment hautes et épaisses, qui
représenteront soit des couches de confinement ad hoc, soit le vide, et qui assureront
l'annulation de la fonction enveloppe à l'infini. (Mais d'autres conditions aux limites peuvent
être mieux adaptées à la situation physique : conditions périodiques BVK pour des superréseaux infinis, ondes planes à l'infini pour des expériences de transmission.)
La méthode consiste à fixer une énergie E et à suivre de proche en proche l'évolution de
l'onde électronique d'énergie E à partir de la première barrière, puis au travers de toutes les
tranches de la structure. Les états propres seront ceux qui satisfont aux conditions aux limites
dans l'ensemble de la structure, généralement d'être bornée à l'infini.
L'évolution de la fonction enveloppe dans chaque tranche i est régie par l'équation de
Schrodinger : par contre, nous supposerons que les mouvements // et I sont séparables,
d'éventuels termes de couplage étant par la suite traités en perturbation, comme on le verra
dans le cas de la bande de valence :
fi2 a 2
2mi az2 2ml,i
[ --+ - + Vi ]
La fonction enveloppe peut s'écrire, sous sa forme la plus générale et symétrique :
c~~(z)=aie[iki(z-zi-Li /2) ]+bie[-iki(z-zi-Li 1 2 ) ]
(3.12)
fi2k;
A2ki
où Li =Zi+l-Zi. Notons surtout que l'énergie cinétique en z : - = E -
- Vi
2mi ( E )
2ml,i ( E )
peut être positive ou négative, selon que l'onde est propagative (onde plane) ou évanescente
(exponentielle décroissante).
Pour une énergie E donnée, la propagation de l'onde est donc parfaitement déteminée
dans la couche i par cette équation de Schrodinger, et à l'interface, par les conditions aux
limites (éq. 3.7) :
cPi(zi+i)=
(3.13 b)
ml' ( E )
fonctions de ai-1 et bi-1 par un système linéaire, représentée par une "matrice de transfert"
Mi ne dépendant que des paramètres des couches i et i+l. La fonction enveloppe est donc
connue de proche en proche par:
Cependant, comme toujours dans un système confiné, toute énergie E ne permet pas de
construire une fonction propre ; ce sont les conditions aux limites qui en décideront. Ici, on
veut que la fonction soit évanescente dans les deux barrières extrêmes, indexées O et N.
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l'énergie, la structure sera toujours entourée de barrières suffisamment hautes et épaisses, qui
représenteront soit des couches de confinement ad hoc, soit le vide, et qui assureront
l'annulation de la fonction enveloppe à l'infini. (Mais d'autres conditions aux limites peuvent
être mieux adaptées à la situation physique : conditions périodiques BVK pour des superréseaux infinis, ondes planes à l'infini pour des expériences de transmission.)
La méthode consiste à fixer une énergie E et à suivre de proche en proche l'évolution de
l'onde électronique d'énergie E à partir de la première barrière, puis au travers de toutes les
tranches de la structure. Les états propres seront ceux qui satisfont aux conditions aux limites
dans l'ensemble de la structure, généralement d'être bornée à l'infini.
L'évolution de la fonction enveloppe dans chaque tranche i est régie par l'équation de
Schrodinger : par contre, nous supposerons que les mouvements // et I sont séparables,
d'éventuels termes de couplage étant par la suite traités en perturbation, comme on le verra
dans le cas de la bande de valence :
fi2 a 2
2mi az2 2ml,i
[ --+ - + Vi ]
La fonction enveloppe peut s'écrire, sous sa forme la plus générale et symétrique :
c~~(z)=aie[iki(z-zi-Li /2) ]+bie[-iki(z-zi-Li 1 2 ) ]
(3.12)
fi2k;
A2ki
où Li =Zi+l-Zi. Notons surtout que l'énergie cinétique en z : - = E -
- Vi
2mi ( E )
2ml,i ( E )
peut être positive ou négative, selon que l'onde est propagative (onde plane) ou évanescente
(exponentielle décroissante).
Pour une énergie E donnée, la propagation de l'onde est donc parfaitement déteminée
dans la couche i par cette équation de Schrodinger, et à l'interface, par les conditions aux
limites (éq. 3.7) :
cPi(zi+i)=
(3.13 b)
ml' ( E )
fonctions de ai-1 et bi-1 par un système linéaire, représentée par une "matrice de transfert"
Mi ne dépendant que des paramètres des couches i et i+l. La fonction enveloppe est donc
connue de proche en proche par:
Cependant, comme toujours dans un système confiné, toute énergie E ne permet pas de
construire une fonction propre ; ce sont les conditions aux limites qui en décideront. Ici, on
veut que la fonction soit évanescente dans les deux barrières extrêmes, indexées O et N.