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R. Plane1
masse effective pour le mouvement dans le plan mlsoit différente de la musse de
confinement m. C'est souvent une situation à prendre en compte pour les états de valence
(Cf. parag. 2.2.3.3).
Les variables x, y et z se découplent sans difficulté, et la particule est libre dans le plan :
F(r) = ei(kxx+kyy),p(z) =eiki.ricp(z). Pour ne pas alourdir les équations, on va se
restreindre au cas de deux matériaux A et B formant, par exemple, un puits quantique. La
condition de continuité de la fonction d'onde aux interfaces impose évidemment que k l est
le même dans les matériaux A et B. Il vient donc pour le mouvement en z :
On se trouve face à un problème de mécanique quantique relativement classique.
Intéressons-nous aux états liés du puits quantique. Dans le matériau A (puits) l'énergie
cinétique en z est positive, c'est-à-dire : T& = E - V - A 2 k i /2m$ > O . Donc les solutions
sont des ondes planes de vecteur d'onde f K = A-1 ,/Te /mA :
(PA = aleiia + a2e-iia
(3.6 a)
Par contre, dans les régions B (Barrières) où TP < O , ce sont des exponentielles réelles
de paramètre k 7 = A-1 J- TF / mB :
(PB = b1e7z + b2e-Tz
(3.6 b)
Pour déterminer les fonctions et valeurs propres, on utilise également les conditions aux
- à l'infini, ondes évanescentes, donc bl ( z j - ) = O et b2 ( z j + = ) = O
- aux interfaces, notées z = i, continuité de la fonction enveloppe et, non pas simplement
limites :
de sa dérivée, mais du courant Im (P* -- [21]. Ceci impose :
(3.7 a)
(3.7 b)
Dans le cas de hauteur de barrière V, infinie, la fonction d'onde doit simplement
s'annuler à l'interface, et on retrouve sans difficulté, puisque le potentiel est symétrique, que
les solutions sont des cosinus (symétriques) ou des sinus (antisymétriquesg. La tradition s'est
établie de numéroter ces états à partir de 1. Plus précisément :
( 2)
PA(^ = i+) = (PB (z = i-)
1 acpA(z=i+)
1 a p ( Z = i - )
-
mA
a Z
mB
dz
d'énergie - [ (2p+1) n/Ll2+"A
2mA ou(2p+2)
R. Plane1
masse effective pour le mouvement dans le plan mlsoit différente de la musse de
confinement m. C'est souvent une situation à prendre en compte pour les états de valence
(Cf. parag. 2.2.3.3).
Les variables x, y et z se découplent sans difficulté, et la particule est libre dans le plan :
F(r) = ei(kxx+kyy),p(z) =eiki.ricp(z). Pour ne pas alourdir les équations, on va se
restreindre au cas de deux matériaux A et B formant, par exemple, un puits quantique. La
condition de continuité de la fonction d'onde aux interfaces impose évidemment que k l est
le même dans les matériaux A et B. Il vient donc pour le mouvement en z :
On se trouve face à un problème de mécanique quantique relativement classique.
Intéressons-nous aux états liés du puits quantique. Dans le matériau A (puits) l'énergie
cinétique en z est positive, c'est-à-dire : T& = E - V - A 2 k i /2m$ > O . Donc les solutions
sont des ondes planes de vecteur d'onde f K = A-1 ,/Te /mA :
(PA = aleiia + a2e-iia
(3.6 a)
Par contre, dans les régions B (Barrières) où TP < O , ce sont des exponentielles réelles
de paramètre k 7 = A-1 J- TF / mB :
(PB = b1e7z + b2e-Tz
(3.6 b)
Pour déterminer les fonctions et valeurs propres, on utilise également les conditions aux
- à l'infini, ondes évanescentes, donc bl ( z j - ) = O et b2 ( z j + = ) = O
- aux interfaces, notées z = i, continuité de la fonction enveloppe et, non pas simplement
limites :
de sa dérivée, mais du courant Im (P* -- [21]. Ceci impose :
(3.7 a)
(3.7 b)
Dans le cas de hauteur de barrière V, infinie, la fonction d'onde doit simplement
s'annuler à l'interface, et on retrouve sans difficulté, puisque le potentiel est symétrique, que
les solutions sont des cosinus (symétriques) ou des sinus (antisymétriquesg. La tradition s'est
établie de numéroter ces états à partir de 1. Plus précisément :
( 2)
PA(^ = i+) = (PB (z = i-)
1 acpA(z=i+)
1 a p ( Z = i - )
-
mA
a Z
mB
dz
d'énergie - [ (2p+1) n/Ll2+"A
2mA ou(2p+2)