L 'eîTe t pho toréfrac tif
283
Contrairement à l'approche que nous avions suivie pour arriver à l'équation (4.3) nous ne
négligeons pas les termes en divergence ici. Cela alourdit très légèrement les calculs mais
permettra de savoir quelle est l'approximation que l'on fera lorsqu'on négligera la
biréfringence du matériau. Le lecteur peut s'amuser à poursuivre les calculs en négligeant
cette biréfringence linéaire ce qui revient à poser 2; ' iR = 2; ' ks = O ci-dessous. Pour réécrire
l'équation (4.21), nous tenons compte de la relation suivante sur les opérateurs "nabla" :
0 A ( f Y > = (Bf>r\ Y + f ( G A Y> ,
(4.22)
et nous calculons,
A
-
+ + -
rot rot E," = A e - i ( a - k ~ i l [. - A (O A (AR êR )) - i ( B A (AR ê, ) ) A kR
2
- ? ? A ( A R ê R A k R ) - ( A 2 A k ,
- ) A k +cc . (4.23)
Une expression similaire serait obtenue pour E,".
i) Considérant que A R et As évoluent lentement sur une échelle de la longueur d'onde, on fait
l'approximation de l'enveloppe lentement variable permettant de négliger les termes en
dérivés secondes, c'est-à-dire le premier terme du membre de droite de l'équation (4.23).
ii) On tient également compte de ce que les évolutions temporelles de E: et de AR,S sont
faibles sur une période de l'onde optique. Le membre de droite de l'équation de propagation
(4.21) devient :
Pour résoudre l'équation de propagation, nous effectuons les hypothèses suivantes.
(4.24)
On peut alors réécrire l'équation de propagation en remarquant qu'en I'ablnce de réseau,
les trois premiers termes du membre de droite de l'équation (4.23) s'annulent. Etant donné que
le vecteur d'onde est celui d'une onde propre en l'absence de réseau nous pouvons écrire avec
la définition (3.31) et en égalisant les équations (4.24) avec (4.23) :
(4.25)
I1 ne nous reste donc que deux termes à calculer dans l'équation (4.23). Nous les exprimons à
l'aide de la formule (4.22) :
w2
-( êR,S A ' R , S ) A 'R,S =, [ '
;
I
êR,S '
(0 A (AR êR)) A kR = ( kR' OAR)êR - (êR' iR)?AR,
0 A (AR êR A kR) = (kR' GAR)êR - (êk ?AR)kR .
(4.26)
Dans l'équation de propagation, nous ne gardons que les termes oscillant à la fréquence
o. Nous regroupons ensuite les termes en accord de phase, c'est-à-dire d'une part ceux se
propageant avec un vecteur d'onde voisin de kR et d'autre part ceux ayant un vecteur d'onde
voisin de is. Nous effectuons alors le produit matriciel de la première équation avec 2; ' et de
la seconde avec êf'. Les équations couplées ainsi obtenues sont :
-
Pour simplifier ces équations, nous introduisons les indices nR et ns vus par les ondes en
l'absence de réseau :
(4.28)
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Contrairement à l'approche que nous avions suivie pour arriver à l'équation (4.3) nous ne
négligeons pas les termes en divergence ici. Cela alourdit très légèrement les calculs mais
permettra de savoir quelle est l'approximation que l'on fera lorsqu'on négligera la
biréfringence du matériau. Le lecteur peut s'amuser à poursuivre les calculs en négligeant
cette biréfringence linéaire ce qui revient à poser 2; ' iR = 2; ' ks = O ci-dessous. Pour réécrire
l'équation (4.21), nous tenons compte de la relation suivante sur les opérateurs "nabla" :
0 A ( f Y > = (Bf>r\ Y + f ( G A Y> ,
(4.22)
et nous calculons,
A
-
+ + -
rot rot E," = A e - i ( a - k ~ i l [. - A (O A (AR êR )) - i ( B A (AR ê, ) ) A kR
2
- ? ? A ( A R ê R A k R ) - ( A 2 A k ,
- ) A k +cc . (4.23)
Une expression similaire serait obtenue pour E,".
i) Considérant que A R et As évoluent lentement sur une échelle de la longueur d'onde, on fait
l'approximation de l'enveloppe lentement variable permettant de négliger les termes en
dérivés secondes, c'est-à-dire le premier terme du membre de droite de l'équation (4.23).
ii) On tient également compte de ce que les évolutions temporelles de E: et de AR,S sont
faibles sur une période de l'onde optique. Le membre de droite de l'équation de propagation
(4.21) devient :
Pour résoudre l'équation de propagation, nous effectuons les hypothèses suivantes.
(4.24)
On peut alors réécrire l'équation de propagation en remarquant qu'en I'ablnce de réseau,
les trois premiers termes du membre de droite de l'équation (4.23) s'annulent. Etant donné que
le vecteur d'onde est celui d'une onde propre en l'absence de réseau nous pouvons écrire avec
la définition (3.31) et en égalisant les équations (4.24) avec (4.23) :
(4.25)
I1 ne nous reste donc que deux termes à calculer dans l'équation (4.23). Nous les exprimons à
l'aide de la formule (4.22) :
w2
-( êR,S A ' R , S ) A 'R,S =, [ '
;
I
êR,S '
(0 A (AR êR)) A kR = ( kR' OAR)êR - (êR' iR)?AR,
0 A (AR êR A kR) = (kR' GAR)êR - (êk ?AR)kR .
(4.26)
Dans l'équation de propagation, nous ne gardons que les termes oscillant à la fréquence
o. Nous regroupons ensuite les termes en accord de phase, c'est-à-dire d'une part ceux se
propageant avec un vecteur d'onde voisin de kR et d'autre part ceux ayant un vecteur d'onde
voisin de is. Nous effectuons alors le produit matriciel de la première équation avec 2; ' et de
la seconde avec êf'. Les équations couplées ainsi obtenues sont :
-
Pour simplifier ces équations, nous introduisons les indices nR et ns vus par les ondes en
l'absence de réseau :
(4.28)