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G. Pauliat et G. Roosen
Avec la première approximation de Born, c'est-à-dire en négligeant l'onde diffractée dans le
terme source, et en tenant compte de (4.2), nous trouvons :
(4.4)
L'onde diffractée n'est généralement pas une onde plane. Nous l'écrivons sous la forme :
2, d'ks + cc ,
(4.5)
I
= 0,5
J' I a, e - l ( 6 J - G )
I is telq"eyq=k
avec as les amplitudes des composantes d'ondes planes, is leurs vecteurs d'onde et ês les
vecteurs unitaires; a, et ês dépendent de is.
Nous allons comparer les amplitudes diffractées autour dune même direction 2 de sorte
que nous puissions utiliser l'approximation paraxiale et poser i.2 = k . On commence par
substituer l'équation (4.5) dans l'équation (4.4) puis on élimine les dérivées secondes avec
l'approximation de l'enveloppe lentement variable. On multiplie ensuite tous les membres de
l'équation ainsi obtenue par exp(iks'.F). Le résultat est intégré sur le plan (O,X,Y)
perpendiculaire à l'axe 2 en tenant compte de la relation suivante sur les fonctions de Dirac :
- -
/ - J / ( k s - k s ' )
f d X d Y = 4 n z s((k,-~st).H)s((k,-k,').î.).
(4.6)
En notant VoZ le volume de l'hologramme et en prenant compte de la définition (3.32), une
troisième intégration suivant Z nous donne les amplitudes a, :
(4.7)
Cette expression (4.7) est valable quel que soit l'axe 2 choisi, quels que soient la
polarisation de l'onde et le volume occupé par le réseau. Si plusieurs réseaux sont présents, ou
si celui-ci est non harmonique, il faut faire la somme de toutes les composantes diffractées sur
toutes ces harmoniques.
En dépit de toutes les approximations effectuées, l'équation (4.7) permet de tirer
plusieurs caractéristiques du processus de diffraction.
- I1 existe deux ordres de diffraction, t-1 , qui correspondent aux deux intégrales. L'absence
d'ordre de diffraction supérieur provient de nos hypothèses; d'une part du choix d u n réseau de
permittivité sinusoïdal; d'autre part de la limitation aux efficacités de diffraction faibles et de
la non prise en compte de la rediffraction des ordres diffractés (ce qui est l'approximation de
Born).
- L'efficacité de diffraction est maximale lorsque la condition d'accord de Bragg est vérifiée,
c'est-à-dire pour :
(4.8)
pour 1' ordre - 1,
1- iK - is - = i, - pour 1' ordre + 1.
Les faisceaux d'écriture vérifient donc la condition de Bragg dans un matériau optiquement
isotrope; nous verrons le pourquoi de cette restriction ultérieurement. Dans ce qui suit, nous
nous placerons toujours au voisinage de l'accord de Bragg pour l'ordre +l. Avec les matériaux
kR - ks = -k,
G. Pauliat et G. Roosen
Avec la première approximation de Born, c'est-à-dire en négligeant l'onde diffractée dans le
terme source, et en tenant compte de (4.2), nous trouvons :
(4.4)
L'onde diffractée n'est généralement pas une onde plane. Nous l'écrivons sous la forme :
2, d'ks + cc ,
(4.5)
I
= 0,5
J' I a, e - l ( 6 J - G )
I is telq"eyq=k
avec as les amplitudes des composantes d'ondes planes, is leurs vecteurs d'onde et ês les
vecteurs unitaires; a, et ês dépendent de is.
Nous allons comparer les amplitudes diffractées autour dune même direction 2 de sorte
que nous puissions utiliser l'approximation paraxiale et poser i.2 = k . On commence par
substituer l'équation (4.5) dans l'équation (4.4) puis on élimine les dérivées secondes avec
l'approximation de l'enveloppe lentement variable. On multiplie ensuite tous les membres de
l'équation ainsi obtenue par exp(iks'.F). Le résultat est intégré sur le plan (O,X,Y)
perpendiculaire à l'axe 2 en tenant compte de la relation suivante sur les fonctions de Dirac :
- -
/ - J / ( k s - k s ' )
f d X d Y = 4 n z s((k,-~st).H)s((k,-k,').î.).
(4.6)
En notant VoZ le volume de l'hologramme et en prenant compte de la définition (3.32), une
troisième intégration suivant Z nous donne les amplitudes a, :
(4.7)
Cette expression (4.7) est valable quel que soit l'axe 2 choisi, quels que soient la
polarisation de l'onde et le volume occupé par le réseau. Si plusieurs réseaux sont présents, ou
si celui-ci est non harmonique, il faut faire la somme de toutes les composantes diffractées sur
toutes ces harmoniques.
En dépit de toutes les approximations effectuées, l'équation (4.7) permet de tirer
plusieurs caractéristiques du processus de diffraction.
- I1 existe deux ordres de diffraction, t-1 , qui correspondent aux deux intégrales. L'absence
d'ordre de diffraction supérieur provient de nos hypothèses; d'une part du choix d u n réseau de
permittivité sinusoïdal; d'autre part de la limitation aux efficacités de diffraction faibles et de
la non prise en compte de la rediffraction des ordres diffractés (ce qui est l'approximation de
Born).
- L'efficacité de diffraction est maximale lorsque la condition d'accord de Bragg est vérifiée,
c'est-à-dire pour :
(4.8)
pour 1' ordre - 1,
1- iK - is - = i, - pour 1' ordre + 1.
Les faisceaux d'écriture vérifient donc la condition de Bragg dans un matériau optiquement
isotrope; nous verrons le pourquoi de cette restriction ultérieurement. Dans ce qui suit, nous
nous placerons toujours au voisinage de l'accord de Bragg pour l'ordre +l. Avec les matériaux
kR - ks = -k,