272
G. Pauliat et G. Roosen
La perturbation du
i = l à 6 , soit
notations
- -
(3.18)
contractées :
(3.19)
Cette notation contractée est utile pour présenter des résultats. Néanmoins, pour les calculs, il
est aussi simple d'utiliser la notation complète et d'écrire :
A q,] =go soit [ A E:] = - [ E ~ ] ( [ ~ ~ = ~ ] Ë ) [ E ~ ]
.
(3.20)
3.4.3 Effet électro-optique quadratique
Les matériaux centrosymétriques ne présentent pas d'effet électro-optique linéaire mais
seulement un effet électro-optique quadratique. En l'absence d'un champ extérieur appliqué,
un réseau de champ de charge d'espace E,, de nombre d'onde k, engendre par effet
quadratique un réseau de nombre d'onde 2 k,. Ce réseau ne peut généralement pas être relu
par diffraction avec une des deux ondes d'écriture (problème de la sélectivité angulaire de
Bragg que nous aborderons dans le prochain chapitre). Afin d'utiliser ces matériaux, on leur
applique un champ électrique Ëo fort devant le champ de charge d'espace Ë,,. Ceci permet
formellement, du point de vu mathématique, de traiter l'effet quadratique comme un effet
linéaire. En effet, le développement limité (3.16) devient maintenant :
[ 11 (Eo + ËIJ] = [ 11 (O)] + [gl:(Ëo + EIr)(ZO + -Gr)+...
(3.21)
Dans l'expression de ce développement limité apparaissent des termes proportionnels aux
composantes du champ de charge d'espace Ë,,. I1 s'agit de :
A1lt] = 2g$d Elr,k '
û, !
'
(3.22)
En suivant les notations de l'équation (3.17), nous pouvons donc introduire un tenseur
électro-optique Pockels "fictif" [r"] induit par effet quadratique tel que :
$ Eir,k = 2gtjki Eir.k '
O
,
!
7
(3.23)
soit,
7; = 2 g ~ k l ' O , ! Ou [ r " ] = 2 [ 8 ] È 0 '
(3.24)
L'utilisation de l'équation (3.23) permet, au niveau du calcul, de transformer l'effet
quadratique en effet linéaire ce qui nous ramène aux résultats du paragraphe précédent. Nous
allons maintenant donner un exemple d'un tel calcul de tenseur [r"].
Exemple d'un matériau initialement électriquement isotrope
Le tenseur Kerr d'un matériau électriquement isotrope comporte 21 éléments non nuls. Les
champs appliqué et de charge d'espace étant à la même fréquence nulle, nous avons en plus
gukl = gOlk (symétrie de Kleinman). Tous ces coefficients dépendent donc les uns des autres :
G. Pauliat et G. Roosen
La perturbation du
i = l à 6 , soit
notations
- -
(3.18)
contractées :
(3.19)
Cette notation contractée est utile pour présenter des résultats. Néanmoins, pour les calculs, il
est aussi simple d'utiliser la notation complète et d'écrire :
A q,] =go soit [ A E:] = - [ E ~ ] ( [ ~ ~ = ~ ] Ë ) [ E ~ ]
.
(3.20)
3.4.3 Effet électro-optique quadratique
Les matériaux centrosymétriques ne présentent pas d'effet électro-optique linéaire mais
seulement un effet électro-optique quadratique. En l'absence d'un champ extérieur appliqué,
un réseau de champ de charge d'espace E,, de nombre d'onde k, engendre par effet
quadratique un réseau de nombre d'onde 2 k,. Ce réseau ne peut généralement pas être relu
par diffraction avec une des deux ondes d'écriture (problème de la sélectivité angulaire de
Bragg que nous aborderons dans le prochain chapitre). Afin d'utiliser ces matériaux, on leur
applique un champ électrique Ëo fort devant le champ de charge d'espace Ë,,. Ceci permet
formellement, du point de vu mathématique, de traiter l'effet quadratique comme un effet
linéaire. En effet, le développement limité (3.16) devient maintenant :
[ 11 (Eo + ËIJ] = [ 11 (O)] + [gl:(Ëo + EIr)(ZO + -Gr)+...
(3.21)
Dans l'expression de ce développement limité apparaissent des termes proportionnels aux
composantes du champ de charge d'espace Ë,,. I1 s'agit de :
A1lt] = 2g$d Elr,k '
û, !
'
(3.22)
En suivant les notations de l'équation (3.17), nous pouvons donc introduire un tenseur
électro-optique Pockels "fictif" [r"] induit par effet quadratique tel que :
$ Eir,k = 2gtjki Eir.k '
O
,
!
7
(3.23)
soit,
7; = 2 g ~ k l ' O , ! Ou [ r " ] = 2 [ 8 ] È 0 '
(3.24)
L'utilisation de l'équation (3.23) permet, au niveau du calcul, de transformer l'effet
quadratique en effet linéaire ce qui nous ramène aux résultats du paragraphe précédent. Nous
allons maintenant donner un exemple d'un tel calcul de tenseur [r"].
Exemple d'un matériau initialement électriquement isotrope
Le tenseur Kerr d'un matériau électriquement isotrope comporte 21 éléments non nuls. Les
champs appliqué et de charge d'espace étant à la même fréquence nulle, nous avons en plus
gukl = gOlk (symétrie de Kleinman). Tous ces coefficients dépendent donc les uns des autres :