L 'effet pho toréfractif
271
Dans tous les svstèmes d'axes nous Douvons donc écrire :
(3.15)
3.4.1.4 Développement des perturbations
Pour calculer l'état du matériau, paragraphe 3.2, nous avons utilisé les variables champ
électrique interne Ë et gradients du déplacement [u]. Nous réutilisons ces mêmes variables
pour calculer les modifications induites sur les coefficients de cette matrice d'imperméabilité.
Pour cela, nous effectuons un développement selon les puissances des perturbations
définissant les variations du premier ordre (ou linéaire), du second ordre (ou quadratique),
etc. Nous obtenons :
[ y ] = [ T, I (O)] + [ A y] = [ T,I (O)] + [ ru='] E + [p'][u] + [ g ] : ËË+. . .
(3.16)
avec [ru='] le tenseur électro-optique linéaire pris à déformations nulles, de rang 3, (27
coefficients); [g] le tenseur électro-optique quadratique de rang 4; [p'] la somme du tenseur
élasto-optique et du tenseur roto-optique, tous les deux de rang 4.
Contrairement à l'équation (3.4), nous avons fait intervenir dans (3.16) le tenseur [u]
avec ses parties symétriques (représentant les déformations) et antisymétriques (représentant
les rotations locales). En effet, si le réseau de champ électrique induit une rotation
spatialement périodique des éléments de volume du matériau (donc si la partie antisymétrique
de [u] est non nulle), et si en plus le matériau est biréfringent, cela va induire une variation
périodique de l'indice. Cette variation périodique de l'indice, même si elle est faible, diffracte
la lumière de façon significative. Typiquement, pour un cristal de titanate de baryum de lcm
d'épaisseur, une variation relative périodique de la permittivité aux fréquences optiques de
l'ordre de 10-5 est un hologramme dont l'efficacité de diffraction est de l'ordre de 100%.
Précédemment, nous avions pu négliger cette variation périodique de la permittivité aux
basses fréquences (équation (3.4)) car nous recherchions les perturbations apportées à la
permittivité pour le calcul du champ électrique. Des variations relatives de l'ordre de
sont
dans ce cas totalement négligeables ce qui nous avait permis de ne pas prendre en compte ces
rotations dans le paragraphe (3.2).
Dans l'écriture (3.16), un même tenseur peut rendre compte de plusieurs phénomènes
microscopiques. Par exemple [g] représente généralement l'effet Kerr qui est d'origine
électronique. I1 peut également prendre en compte un effet de réorientation des chromophores
dans les matériaux polymères. Pour l'étude qui nous intéresse ici, nous ne ferons pas de
distinction entre ces différentes origines. I1 convient néanmoins de les conserver à l'esprit. En
effet, si l'effet Kerr est instantané, la réorientation moléculaire peut être le phénomène
limitant dans la vitesse de construction dun réseau photoréfractif.
L'expression (3.16) est en notations tensorielles. Nous l'utiliserons sous sa forme
développée :
Aq,, = cl : =' Ek + pik, uu + gjk, Ek Et ; i, j , k , 1 = 1,2,3 .
(3.17)
3.4.2 Effet électro-optique linéaire
L'effet électro-optique linéaire n'existe pas dans les matériaux centrosymétriques (dont les
propriétés sont inchangées lorsque le signe du champ est inversé) pour lesquels nous avons
Ek = ~,k" (-Ek) ce qui entraîne <; Lo = O. Nous montrerons plus loin comment dans les
matériaux centrosymétriques l'application dun champ électrique de valeur élevée permet de
transformer un effet quadratique en effet linéaire.
[ q ] étant symétrique en i et j , [ru='] l'est aussi. La notation contractée s'y applique
donc. Cela réduit à 18 le nombre de coefficients indépendants. En utilisant les conventions
(3.1 l), il s'écrit sous la forme contractée dune matrice 6 x 3 :
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Dans tous les svstèmes d'axes nous Douvons donc écrire :
(3.15)
3.4.1.4 Développement des perturbations
Pour calculer l'état du matériau, paragraphe 3.2, nous avons utilisé les variables champ
électrique interne Ë et gradients du déplacement [u]. Nous réutilisons ces mêmes variables
pour calculer les modifications induites sur les coefficients de cette matrice d'imperméabilité.
Pour cela, nous effectuons un développement selon les puissances des perturbations
définissant les variations du premier ordre (ou linéaire), du second ordre (ou quadratique),
etc. Nous obtenons :
[ y ] = [ T, I (O)] + [ A y] = [ T,I (O)] + [ ru='] E + [p'][u] + [ g ] : ËË+. . .
(3.16)
avec [ru='] le tenseur électro-optique linéaire pris à déformations nulles, de rang 3, (27
coefficients); [g] le tenseur électro-optique quadratique de rang 4; [p'] la somme du tenseur
élasto-optique et du tenseur roto-optique, tous les deux de rang 4.
Contrairement à l'équation (3.4), nous avons fait intervenir dans (3.16) le tenseur [u]
avec ses parties symétriques (représentant les déformations) et antisymétriques (représentant
les rotations locales). En effet, si le réseau de champ électrique induit une rotation
spatialement périodique des éléments de volume du matériau (donc si la partie antisymétrique
de [u] est non nulle), et si en plus le matériau est biréfringent, cela va induire une variation
périodique de l'indice. Cette variation périodique de l'indice, même si elle est faible, diffracte
la lumière de façon significative. Typiquement, pour un cristal de titanate de baryum de lcm
d'épaisseur, une variation relative périodique de la permittivité aux fréquences optiques de
l'ordre de 10-5 est un hologramme dont l'efficacité de diffraction est de l'ordre de 100%.
Précédemment, nous avions pu négliger cette variation périodique de la permittivité aux
basses fréquences (équation (3.4)) car nous recherchions les perturbations apportées à la
permittivité pour le calcul du champ électrique. Des variations relatives de l'ordre de
sont
dans ce cas totalement négligeables ce qui nous avait permis de ne pas prendre en compte ces
rotations dans le paragraphe (3.2).
Dans l'écriture (3.16), un même tenseur peut rendre compte de plusieurs phénomènes
microscopiques. Par exemple [g] représente généralement l'effet Kerr qui est d'origine
électronique. I1 peut également prendre en compte un effet de réorientation des chromophores
dans les matériaux polymères. Pour l'étude qui nous intéresse ici, nous ne ferons pas de
distinction entre ces différentes origines. I1 convient néanmoins de les conserver à l'esprit. En
effet, si l'effet Kerr est instantané, la réorientation moléculaire peut être le phénomène
limitant dans la vitesse de construction dun réseau photoréfractif.
L'expression (3.16) est en notations tensorielles. Nous l'utiliserons sous sa forme
développée :
Aq,, = cl : =' Ek + pik, uu + gjk, Ek Et ; i, j , k , 1 = 1,2,3 .
(3.17)
3.4.2 Effet électro-optique linéaire
L'effet électro-optique linéaire n'existe pas dans les matériaux centrosymétriques (dont les
propriétés sont inchangées lorsque le signe du champ est inversé) pour lesquels nous avons
Ek = ~,k" (-Ek) ce qui entraîne <; Lo = O. Nous montrerons plus loin comment dans les
matériaux centrosymétriques l'application dun champ électrique de valeur élevée permet de
transformer un effet quadratique en effet linéaire.
[ q ] étant symétrique en i et j , [ru='] l'est aussi. La notation contractée s'y applique
donc. Cela réduit à 18 le nombre de coefficients indépendants. En utilisant les conventions
(3.1 l), il s'écrit sous la forme contractée dune matrice 6 x 3 :