L 'effet phot oréfrac tif
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simplifient. En effet, par symétrie, les déplacements sont également quasi-périodiques. Nous
pouvons écrire :
[E(?) = & +0,5kr (E, +E: e-". '
-
(3.5)
luk,(?) = ~,,~,(0)+0~5(rr,,~, e'', ' + u;,~, e-" '),
les indices O,, signifiant ici, ordre spatial O (i.e. uniforme) et ordre spatial 1 (modulé); les
indices après la virgule repérant toujours la coordonnée x, y ou z.
Pour les composantes modulées spatialement, en reportant l'expression (3.5) du vecteur
déplacement dans les expressions (3.3) et en utilisant les conditions d'équilibre (3. I), nous
obtenons :
~ , ~ ~ , U ~ ~ ~ k ~ a ~ a , = - i e , , , E , a ~ a ,
avec a l = k r . X , a 2 = k , . j et a,=k,.i.
(3.6)
La résolution de ce système d'équations (3.6) permet de remonter au vecteur déplacement.
Elle peut s'effectuer sous forme matricielle en posant :
(3.7)
En introduisant la matrice [AI-', de composantes A;', qui est l'inverse de [A] nous pouvons
alors écrire :
[A]Ü, = avec A,k = cgkl a, a, et B, = -iek,, El ak a,/k, ,
Ul,kI = a m a, ai em, AL1 E 1 .
(3.8)
Les déplacements associés à la composante uniforme E,, du champ sont plus faciles à
calculer. En effet, aux basses fréquences, on considère généralement que les faces du
matériau sont libres de se déformer. Pour cette composante uniforme, le matériau peut donc
être considéré comme totalement libre de se déformer dans le volume. Le calcul est trivial car
il suffit de poser r, = O dans l'équation (3.2).
3.3 Permittivités diélectriques à basse fréquence
La constante diélectrique effective s'exprime en reportant les valeurs trouvées dans
l'expression du déplacement électrique. Conformément à la définition (2.19), en effectuant le
produit scalaire du déplacement électrique, équation (3.4), avec le vecteur unitaire k, et en
divisant par E,, nous trouvons :
(3.9)
Le coefficient à employer ne correspond donc ni à celui dun matériau totalement libre, ni à
celui d'un matériau totalement contraint.
Même s'il ne présente pas de complication, le calcul de la constante de permittivité
effective nécessite d'inverser la matrice [A] ce qui peut s'avérer fastidieux. Dans certains
matériaux, tels que GaAs, les valeurs des coefficients diélectriques libres et contraints sont
très proches. La correction apportée par le second terme du membre de droite de l'équation
(3.9) est faible. I1 est donc justifié de ne pas apporter cette correction et de ne pas tenir
compte des déformations de ces matériaux dans le calcul des permittivités. Par contre, pour
d'autres matériaux, tcls que BaTiO3, cette correction est nécessaire. Des expressions
précalculées existent dans la littérature pour BaTiOg et KNbO3 uniquement [73].
Nous n'avons pas calculé la constante de permittivité diélectrique associée à la partie non
modulée du champ électrique, c'est-à-dire pour le champ électrique appliqué E,. La raison est
que nous n'en avons pas eu besoin dans la résolution des équations du modèle de transport de
charge. Nous avons eu simplement besoin de la valeur de E, qui ne dépend pas de la
permittivité si ce champ est uniforme dans le matériau; dans ce cas il est simplement égal à
E, = AV/d avec AV la différence de potentiel appliquée aux electrodes espacées d'une
E,
= ( E , &;=O + ei,k emn, a m an 4 , )
a, a,.
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simplifient. En effet, par symétrie, les déplacements sont également quasi-périodiques. Nous
pouvons écrire :
[E(?) = & +0,5kr (E, +E: e-". '
-
(3.5)
luk,(?) = ~,,~,(0)+0~5(rr,,~, e'', ' + u;,~, e-" '),
les indices O,, signifiant ici, ordre spatial O (i.e. uniforme) et ordre spatial 1 (modulé); les
indices après la virgule repérant toujours la coordonnée x, y ou z.
Pour les composantes modulées spatialement, en reportant l'expression (3.5) du vecteur
déplacement dans les expressions (3.3) et en utilisant les conditions d'équilibre (3. I), nous
obtenons :
~ , ~ ~ , U ~ ~ ~ k ~ a ~ a , = - i e , , , E , a ~ a ,
avec a l = k r . X , a 2 = k , . j et a,=k,.i.
(3.6)
La résolution de ce système d'équations (3.6) permet de remonter au vecteur déplacement.
Elle peut s'effectuer sous forme matricielle en posant :
(3.7)
En introduisant la matrice [AI-', de composantes A;', qui est l'inverse de [A] nous pouvons
alors écrire :
[A]Ü, = avec A,k = cgkl a, a, et B, = -iek,, El ak a,/k, ,
Ul,kI = a m a, ai em, AL1 E 1 .
(3.8)
Les déplacements associés à la composante uniforme E,, du champ sont plus faciles à
calculer. En effet, aux basses fréquences, on considère généralement que les faces du
matériau sont libres de se déformer. Pour cette composante uniforme, le matériau peut donc
être considéré comme totalement libre de se déformer dans le volume. Le calcul est trivial car
il suffit de poser r, = O dans l'équation (3.2).
3.3 Permittivités diélectriques à basse fréquence
La constante diélectrique effective s'exprime en reportant les valeurs trouvées dans
l'expression du déplacement électrique. Conformément à la définition (2.19), en effectuant le
produit scalaire du déplacement électrique, équation (3.4), avec le vecteur unitaire k, et en
divisant par E,, nous trouvons :
(3.9)
Le coefficient à employer ne correspond donc ni à celui dun matériau totalement libre, ni à
celui d'un matériau totalement contraint.
Même s'il ne présente pas de complication, le calcul de la constante de permittivité
effective nécessite d'inverser la matrice [A] ce qui peut s'avérer fastidieux. Dans certains
matériaux, tels que GaAs, les valeurs des coefficients diélectriques libres et contraints sont
très proches. La correction apportée par le second terme du membre de droite de l'équation
(3.9) est faible. I1 est donc justifié de ne pas apporter cette correction et de ne pas tenir
compte des déformations de ces matériaux dans le calcul des permittivités. Par contre, pour
d'autres matériaux, tcls que BaTiO3, cette correction est nécessaire. Des expressions
précalculées existent dans la littérature pour BaTiOg et KNbO3 uniquement [73].
Nous n'avons pas calculé la constante de permittivité diélectrique associée à la partie non
modulée du champ électrique, c'est-à-dire pour le champ électrique appliqué E,. La raison est
que nous n'en avons pas eu besoin dans la résolution des équations du modèle de transport de
charge. Nous avons eu simplement besoin de la valeur de E, qui ne dépend pas de la
permittivité si ce champ est uniforme dans le matériau; dans ce cas il est simplement égal à
E, = AV/d avec AV la différence de potentiel appliquée aux electrodes espacées d'une
E,
= ( E , &;=O + ei,k emn, a m an 4 , )
a, a,.