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G. Pauliat et G. Roosen
peuvent être très lentes (de l'ordre de 100 ms, voire plus) et cette réorientation peut limiter la
constante de temps de construction de l'effet photoréfractif. Dans ce cas particulier, les
évolutions temporelles que nous avons calculées dans le chapitre 2 sont incorrectes. Seul est
valable l'état stationnaire.
Pour calculer les perturbations mécaniques induites dans le matériau, nous utilisons des
notations tensorielles. Au lecteur peu familier avec ces notions, nous recommandons la
lecture de la référence [72] pour une présentation agréable à suivre de ces différents tenseurs
et des différents effets électromécaniques. Les diverses composantes des tenseurs sont
indicées par les lettres i, j , k , l , m qui chacune peut prendre une valeur entière 1, 2 ou 3 qui
représente une des trois directions de l'espace x, y ou z . Nous utilisons ici la convention de
sommation implicite d'Einstein pour calculer les produits tensoriels; c'est-à-dire qu'il y a un?
sommation implicite sur tout indice qui est présent deux fois de suite dans un produit. A
l'équilibre mécanique la somme des forces et la somme des couples qui s'appliquent à un
élément de volume est nulle. Nous considérons ici que les forces et couples de volume
résultant de l'action du champ électrique sur les charges et la polarisation sont négligeables.
Leur influence n'a jamais été mise en évidence jusqu'à maintenant. La présentation suivante
qui ne prend pas en compte ces couples est inspirée de [49]. Ces couples sont pris en compte
dans la référence [70]. Les couples étant considérés comme presque nuls, il nous suffit de
poser l'équilibre mécanique des forces qui s'exprime en fonction des composantes
symétriques ql du tenseur des contraintes par [72] :
Puisque nous avons négligé les couples, les composantes antisymétriques du tenseur des
contraintes sont nulles. Les forces qui s'appliquent à un élément de volume sont dues dune
part au champ électrique au travers de l'effet piézoélectrique et aux déformations mécaniques.
Au premier ordre nous écrivons :
avec Ek les composantes du champ électrique interne, qlkl les composantes du tenseur des
rigidités élastiques et erlk les composantes du tenseur piézoélectrique. Les composantes ui:"
du tenseur des déformations sont les parties symétriques des composantes ukl du tenseur des
gradients du déplacement mécanique Ü. En chaque point, les composantes de ces tenseurs
sont reliées par :
De même, au premier ordre, les composantes Di du déplacement électrique aux basses
fréquences sont données par :
avec E~:=' les composantes du tenseur diélectrique à déformations nulles.
Dans certains matériaux qui ne présentent pas d'effet piézo-électrique, il faudrait prendre
en compte l'électrostriction dans les équations (3.2) et (3.4). I1 est possible de montrer que
cette prise en compte est équivalente à introduire des coefficients piézo-électriques
équivalents ainsi qu'exposé dans la référence [70]. Nous négligeons cet effet ici.
En toute rigueur, le calcul du champ interne à partir des équations du modèle de transport
de charge (2.8), (2.14), (2.17), (2.18), devrait être effectué en résolvant simultanément les
équations (3.1), (3.2), (3.3) et (3.4) avec
et Ek comme variables et, en y incluant
éventuellement des équations supplémentaires gouvernant la cinétique de UT. I1 faut en plus
prendre en compte les conditions aux limites; par exemple si le matériau est libre de se
déformer TI = O sur les faces de l'échantillon, ou s'il est totalement contraint, ug = O sur les
faces. Pour une figure d'illumination quelconque, et sauf cas exceptionnel, ce calcul ne peut
être fait que numériquement. Néanmoins, pour une figure d'illumination quasi-périodique et
si les dimensions de l'échantillon sont bien plus grandes que le pas du réseau, les équations se
aq,/ax, = O ,
(3.1)
T .
i/ = c .
ilk/ uJiym kl - ekir Ek 3
(3.2)
= (ukl + ulk)/2 et ~ i ; ~ ~ ~ y ~
- - ( ukl - ulk)/2 avec ukl = a U, / a xl .
(3.3)
D, = ellk UJY + E, E,:=' E,,
(3.4)
G. Pauliat et G. Roosen
peuvent être très lentes (de l'ordre de 100 ms, voire plus) et cette réorientation peut limiter la
constante de temps de construction de l'effet photoréfractif. Dans ce cas particulier, les
évolutions temporelles que nous avons calculées dans le chapitre 2 sont incorrectes. Seul est
valable l'état stationnaire.
Pour calculer les perturbations mécaniques induites dans le matériau, nous utilisons des
notations tensorielles. Au lecteur peu familier avec ces notions, nous recommandons la
lecture de la référence [72] pour une présentation agréable à suivre de ces différents tenseurs
et des différents effets électromécaniques. Les diverses composantes des tenseurs sont
indicées par les lettres i, j , k , l , m qui chacune peut prendre une valeur entière 1, 2 ou 3 qui
représente une des trois directions de l'espace x, y ou z . Nous utilisons ici la convention de
sommation implicite d'Einstein pour calculer les produits tensoriels; c'est-à-dire qu'il y a un?
sommation implicite sur tout indice qui est présent deux fois de suite dans un produit. A
l'équilibre mécanique la somme des forces et la somme des couples qui s'appliquent à un
élément de volume est nulle. Nous considérons ici que les forces et couples de volume
résultant de l'action du champ électrique sur les charges et la polarisation sont négligeables.
Leur influence n'a jamais été mise en évidence jusqu'à maintenant. La présentation suivante
qui ne prend pas en compte ces couples est inspirée de [49]. Ces couples sont pris en compte
dans la référence [70]. Les couples étant considérés comme presque nuls, il nous suffit de
poser l'équilibre mécanique des forces qui s'exprime en fonction des composantes
symétriques ql du tenseur des contraintes par [72] :
Puisque nous avons négligé les couples, les composantes antisymétriques du tenseur des
contraintes sont nulles. Les forces qui s'appliquent à un élément de volume sont dues dune
part au champ électrique au travers de l'effet piézoélectrique et aux déformations mécaniques.
Au premier ordre nous écrivons :
avec Ek les composantes du champ électrique interne, qlkl les composantes du tenseur des
rigidités élastiques et erlk les composantes du tenseur piézoélectrique. Les composantes ui:"
du tenseur des déformations sont les parties symétriques des composantes ukl du tenseur des
gradients du déplacement mécanique Ü. En chaque point, les composantes de ces tenseurs
sont reliées par :
De même, au premier ordre, les composantes Di du déplacement électrique aux basses
fréquences sont données par :
avec E~:=' les composantes du tenseur diélectrique à déformations nulles.
Dans certains matériaux qui ne présentent pas d'effet piézo-électrique, il faudrait prendre
en compte l'électrostriction dans les équations (3.2) et (3.4). I1 est possible de montrer que
cette prise en compte est équivalente à introduire des coefficients piézo-électriques
équivalents ainsi qu'exposé dans la référence [70]. Nous négligeons cet effet ici.
En toute rigueur, le calcul du champ interne à partir des équations du modèle de transport
de charge (2.8), (2.14), (2.17), (2.18), devrait être effectué en résolvant simultanément les
équations (3.1), (3.2), (3.3) et (3.4) avec
et Ek comme variables et, en y incluant
éventuellement des équations supplémentaires gouvernant la cinétique de UT. I1 faut en plus
prendre en compte les conditions aux limites; par exemple si le matériau est libre de se
déformer TI = O sur les faces de l'échantillon, ou s'il est totalement contraint, ug = O sur les
faces. Pour une figure d'illumination quelconque, et sauf cas exceptionnel, ce calcul ne peut
être fait que numériquement. Néanmoins, pour une figure d'illumination quasi-périodique et
si les dimensions de l'échantillon sont bien plus grandes que le pas du réseau, les équations se
aq,/ax, = O ,
(3.1)
T .
i/ = c .
ilk/ uJiym kl - ekir Ek 3
(3.2)
= (ukl + ulk)/2 et ~ i ; ~ ~ ~ y ~
- - ( ukl - ulk)/2 avec ukl = a U, / a xl .
(3.3)
D, = ellk UJY + E, E,:=' E,,
(3.4)