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G. Pauliat et G. Roosen
2.6.2 Approximation des faibles illuminations et approximation adiabatique
2.6.2.1 Cinétiaue du chamD de charge d'espace
Nous nous plaçons dans le cadre de l'approximation des faibles illuminations pour laquelle la
densité de charges no dans la bande reste très inférieure à N ' ( I = O ) = NA et à N - N A . La
solution de l'équation (2.54) à une marche d'intensité est immédiate :
=
- N A ) R ( 1 - e-' 17R .
(2.61)
Cette loi de variation mono-exponentielle peut être vérifiée en étudiant le courant engendré
lors de l'éclairement du matériau sous champ électrique. L'expression du courant est donnée
par l'équation (2.52).
Cette expression (2.61) montre que l'approximation des faibles illuminations n'est pas
très restrictive. En effet la constante de temps de recombinaison Z~ est inférieure à la
nanoseconde pour les matériaux tels que LiNbO3, BaTiO3. Elle est généralement de l'ordre de
la dizaine de microsecondes pour les échantillons de sillenites mais atteint parfois quelques
millisecondes. Ainsi, compte tenu des valeurs habituelles des absorptions, cette
approximation reste valable dans les échantillons de BaTi03 jusqu'à des intensités de l'ordre
du MW.cm-2. Elle est bien sûr plus restrictive pour des échantillons de sillenites.
Nous nous plaçons en plus dans l'approximation adiabatique en supposant que les
variations temporelles des termes modulés spatialement sont lentes devant celles des termes
non modulés spatialement. Dans la résolution des équations à l'ordre 1, on considérera donc
que les termes d'ordre zéro (no, E,, Io) sont indépendants du temps. Seule change la
modulation de la figure d'interférence M ( t ) et donc n,(t) et El(t). Cette approximation est
valable dans la plupart des applications. Avec cette approximation adiabatique,
l'approximation des faibles illuminations peut se mettre sous la forme :
s I o < < y N A et n o < < N A .
(2.62)
Pour la résolution à l'ordre 1, no et E, étant constants, nous avons uniquement un
système à 2 équations linéaires (2.59) et (2.60) couplées à résoudre. Nous utilisons les
définitions des temps caractéristiques données dans le paragraphe 2.3.7. En dérivant (2.60)
par rapport au temps et en remplaçant dans (2.59) nous obtenons en tenant compte de (2.62) :
1
L) +El( -+-+-) -i
1
1
'E'/
'd'i
'R'dt
e ,u ( Eo + i Ed)( N -
- s M Io
&O&:
N A ) .
(2.63)
Nous notons M Escetlm la valeur de l'amplitude du champ de charge d'espace à l'état
stationnaire, a priori complexe (i.e. le champ réel est déphasé, c'est-à-dire décalé spatialement
par rapport à la figure d'interférence). L'équation (2.63) peut alors s'écrire :
.
(2.64)
I
( E ~
- M E,, e+@) = 0,
I
I
où z+ et T- sont les constantes de temps, en général complexes, d'évolution du champ.
Elles sont définies par :
(2.65)
'I
' t
'- ' d i ' R ' d ' E
1
1
i
-+--- -
1
1
I ..I '," '+ '- 'I? 'dt ' I ' d ' I ' E
G. Pauliat et G. Roosen
2.6.2 Approximation des faibles illuminations et approximation adiabatique
2.6.2.1 Cinétiaue du chamD de charge d'espace
Nous nous plaçons dans le cadre de l'approximation des faibles illuminations pour laquelle la
densité de charges no dans la bande reste très inférieure à N ' ( I = O ) = NA et à N - N A . La
solution de l'équation (2.54) à une marche d'intensité est immédiate :
=
- N A ) R ( 1 - e-' 17R .
(2.61)
Cette loi de variation mono-exponentielle peut être vérifiée en étudiant le courant engendré
lors de l'éclairement du matériau sous champ électrique. L'expression du courant est donnée
par l'équation (2.52).
Cette expression (2.61) montre que l'approximation des faibles illuminations n'est pas
très restrictive. En effet la constante de temps de recombinaison Z~ est inférieure à la
nanoseconde pour les matériaux tels que LiNbO3, BaTiO3. Elle est généralement de l'ordre de
la dizaine de microsecondes pour les échantillons de sillenites mais atteint parfois quelques
millisecondes. Ainsi, compte tenu des valeurs habituelles des absorptions, cette
approximation reste valable dans les échantillons de BaTi03 jusqu'à des intensités de l'ordre
du MW.cm-2. Elle est bien sûr plus restrictive pour des échantillons de sillenites.
Nous nous plaçons en plus dans l'approximation adiabatique en supposant que les
variations temporelles des termes modulés spatialement sont lentes devant celles des termes
non modulés spatialement. Dans la résolution des équations à l'ordre 1, on considérera donc
que les termes d'ordre zéro (no, E,, Io) sont indépendants du temps. Seule change la
modulation de la figure d'interférence M ( t ) et donc n,(t) et El(t). Cette approximation est
valable dans la plupart des applications. Avec cette approximation adiabatique,
l'approximation des faibles illuminations peut se mettre sous la forme :
s I o < < y N A et n o < < N A .
(2.62)
Pour la résolution à l'ordre 1, no et E, étant constants, nous avons uniquement un
système à 2 équations linéaires (2.59) et (2.60) couplées à résoudre. Nous utilisons les
définitions des temps caractéristiques données dans le paragraphe 2.3.7. En dérivant (2.60)
par rapport au temps et en remplaçant dans (2.59) nous obtenons en tenant compte de (2.62) :
1
L) +El( -+-+-) -i
1
1
'E'/
'd'i
'R'dt
e ,u ( Eo + i Ed)( N -
- s M Io
&O&:
N A ) .
(2.63)
Nous notons M Escetlm la valeur de l'amplitude du champ de charge d'espace à l'état
stationnaire, a priori complexe (i.e. le champ réel est déphasé, c'est-à-dire décalé spatialement
par rapport à la figure d'interférence). L'équation (2.63) peut alors s'écrire :
.
(2.64)
I
( E ~
- M E,, e+@) = 0,
I
I
où z+ et T- sont les constantes de temps, en général complexes, d'évolution du champ.
Elles sont définies par :
(2.65)
'I
' t
'- ' d i ' R ' d ' E
1
1
i
-+--- -
1
1
I ..I '," '+ '- 'I? 'dt ' I ' d ' I ' E