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G. Pauliat et G. Roosen
Cette expression (2.38) décrit la dépendance du champ de charge d'espace en fonction de
l'illumination. Nous voyons que le champ de charge d'espace ne reproduit pas la figure
d'illumination à cause du terme en gradient. De plus la convolution montre comment les
détails de dimensions inférieures à la longueur d'écran de Debye sont gommés.
2.4.2 Cas des réseaux sinusoïdaux
L'expression (2.38) peut s'employer pour des figures d'illumination quelconques. En
particulier, elle peut s'utiliser pour des réseaux d'illumination tels que ceux décrits par la
formule (2.7). On obtient immédiatement :
E=- k, k, T rnsin(k,x + y,-2) O hexp(-k,lxl)
e (i + rncos(k,x + Y~..~)) 2
(2.39)
Pour des taux de modulation rn faibles devant 1,'le champ est sinusoïdal. La convolution
par 0,5k,exp(-k,lxl)
se réduit à une multiplication par une Lorentzienne l/(l+ k,"/kD2). Le
champ est maximum pour un k, = k,. Pour k, < k,, i.e. pour des grands pas, le champ est
plus faible car le gradient responsable de la création du champ par diffusion diminue. Pour
des plus petits pas, c'est la densité de pièges photoréfractifs qui limite le champ maximum. En
effet la valeur moyenne sur tout le cristal de la densité de centres ionisés est telle que
(N'(x,y,z)) = NA. Un réseau sinusoïdal de charge tel que N'(x) = Nk,, sin(k,x) a donc son
amplitude bornée par Nk,, 5 N A . D'après l'équation de Poisson la densité de centres profonds
limite donc le champ de charge d'espace aux petits pas. Nous retrouverons ces résultats usuels
plus loin lors de la résolution du système d'équations du matériau par un développement
limité.
L'équation (2.39) montre également que pour rn faible devant 1 on enregistre bien un
champ de charge d'espace qui est la réplique du réseau d'illumination à un déphasage de z/2
près (changement de cosinus en sinus). Les réseaux d'ordres supérieurs (Le. de nombres
d'onde 2 k,, 3 k,, etc.) induits par un taux de modulation rn fort, sont analysés plus en détail
dans la référence [52]. Nous y reviendrons dans le paragraphe suivant avec k, = m.
2.5 Régime stationnaire, illumination périodique, taux de modulation et champ appliqué
quelconques
Suite à notre discussion du début du paragraphe 2.3.6 et également d'après les calculs du
paragraphe 2.4 (équation (2.39)), nous savons que pour des taux de modulation quelconques,
la figure de champ n'est pas sinusoïdale. Nous allons donc résoudre le système d'équations
( 2 . Q (2.14), (2.17), (2.18) en notations réelles avec la figure d'illumination exprimée par
l'équation (2.7). Le vecteur d'onde k, de la figure d'interférence est suivant l'axe X. Dans cette
analyse [18], nous supposons que les centres profonds sont peu dépeuplés, soit
IN' - NA( << NA, ce qui nous permet de poser N' = NA. Dans ces conditions nous ne pourrons
pas prévoir et expliquer la limitation due à la saturation des centres profonds qui intervient à
petit pas. La prise en compte de cette limitation n'a été faite qu'avec une approche
phénoménologique [53] ou en résolvant numériquement le jeu d'équations [54-561. Cette
hypothèse des centres peu dépeuplés devra être vérifiée a posteriori en calculant N ' , en
injectant la valeur trouvée pour le champ de charge d'espace dans l'équation de Poisson.
Les équations (2.8), (2.14) et (2.17) deviennent en régime stationnaire :
s Z (N - N A ) = y n N A ,
J = e n p E + p k, T &/ax,
dJ/dx = O .
(2.40)
G. Pauliat et G. Roosen
Cette expression (2.38) décrit la dépendance du champ de charge d'espace en fonction de
l'illumination. Nous voyons que le champ de charge d'espace ne reproduit pas la figure
d'illumination à cause du terme en gradient. De plus la convolution montre comment les
détails de dimensions inférieures à la longueur d'écran de Debye sont gommés.
2.4.2 Cas des réseaux sinusoïdaux
L'expression (2.38) peut s'employer pour des figures d'illumination quelconques. En
particulier, elle peut s'utiliser pour des réseaux d'illumination tels que ceux décrits par la
formule (2.7). On obtient immédiatement :
E=- k, k, T rnsin(k,x + y,-2) O hexp(-k,lxl)
e (i + rncos(k,x + Y~..~)) 2
(2.39)
Pour des taux de modulation rn faibles devant 1,'le champ est sinusoïdal. La convolution
par 0,5k,exp(-k,lxl)
se réduit à une multiplication par une Lorentzienne l/(l+ k,"/kD2). Le
champ est maximum pour un k, = k,. Pour k, < k,, i.e. pour des grands pas, le champ est
plus faible car le gradient responsable de la création du champ par diffusion diminue. Pour
des plus petits pas, c'est la densité de pièges photoréfractifs qui limite le champ maximum. En
effet la valeur moyenne sur tout le cristal de la densité de centres ionisés est telle que
(N'(x,y,z)) = NA. Un réseau sinusoïdal de charge tel que N'(x) = Nk,, sin(k,x) a donc son
amplitude bornée par Nk,, 5 N A . D'après l'équation de Poisson la densité de centres profonds
limite donc le champ de charge d'espace aux petits pas. Nous retrouverons ces résultats usuels
plus loin lors de la résolution du système d'équations du matériau par un développement
limité.
L'équation (2.39) montre également que pour rn faible devant 1 on enregistre bien un
champ de charge d'espace qui est la réplique du réseau d'illumination à un déphasage de z/2
près (changement de cosinus en sinus). Les réseaux d'ordres supérieurs (Le. de nombres
d'onde 2 k,, 3 k,, etc.) induits par un taux de modulation rn fort, sont analysés plus en détail
dans la référence [52]. Nous y reviendrons dans le paragraphe suivant avec k, = m.
2.5 Régime stationnaire, illumination périodique, taux de modulation et champ appliqué
quelconques
Suite à notre discussion du début du paragraphe 2.3.6 et également d'après les calculs du
paragraphe 2.4 (équation (2.39)), nous savons que pour des taux de modulation quelconques,
la figure de champ n'est pas sinusoïdale. Nous allons donc résoudre le système d'équations
( 2 . Q (2.14), (2.17), (2.18) en notations réelles avec la figure d'illumination exprimée par
l'équation (2.7). Le vecteur d'onde k, de la figure d'interférence est suivant l'axe X. Dans cette
analyse [18], nous supposons que les centres profonds sont peu dépeuplés, soit
IN' - NA( << NA, ce qui nous permet de poser N' = NA. Dans ces conditions nous ne pourrons
pas prévoir et expliquer la limitation due à la saturation des centres profonds qui intervient à
petit pas. La prise en compte de cette limitation n'a été faite qu'avec une approche
phénoménologique [53] ou en résolvant numériquement le jeu d'équations [54-561. Cette
hypothèse des centres peu dépeuplés devra être vérifiée a posteriori en calculant N ' , en
injectant la valeur trouvée pour le champ de charge d'espace dans l'équation de Poisson.
Les équations (2.8), (2.14) et (2.17) deviennent en régime stationnaire :
s Z (N - N A ) = y n N A ,
J = e n p E + p k, T &/ax,
dJ/dx = O .
(2.40)