Optique des semi-conducteurs
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cubique simple et pour une direction de k parallèle à un des côtés de la maille, il vient
facilement :
Eh,k = E'h+V1 x&,,n*l e i k . ( R n - b ) = E'h+Vh,pcos ka
(2.6)
n,m
où l'indice p sera différent pour une liaison S-s , p-p,o ou p - p , ~
(Cf. fig. 2.3).
2.2.3 Quelques enseignements de portée générale
On peut maintenant voir quelles leçons tirer de cette théorie très simplifiée . Pour la
discussion, il est utile de visualiser la situation, schématisée sur la figure 2.3.
2.2.3.1 Pour chaque niveau atomique, ou moléculaire, discret, les N états localisés dégénérés
des atomes découplés se sont répartis, avec l'introduction du couplage, en N états délocalisés,
repérés par un indice k qui a la signification dun vecteur d'onde. Pour s'en convaincre,
observons la fonction d'onde de type liaison forte (éq.2.3), elle-même très proche d'une forme
"de Bloch" e i k . r x q h ( r - R,) . Seule la partie exponentielle dépend explicitement de k. Aux
faibles valeurs de k, elle est lentement variable à l'échelle de la maille, au contraire de la partie
périodique. Tout se passe donc comme si l'électron sautait dun site à l'autre. Cependant, la
relation E(k), parabolique aux petits k, s'exprime par une masse effective, qui n'a rien à voir
avec celle de l'électron libre, mais dépend du recouvrement V :
n
m*= A2 / 2 ~ h , ~ a 2
(2.7)
On le voit, un fort couplage entre atomes adjacents induit une grande largeur de bande,
une faible masse effective, et donne plus de "corps physique" à cette réalité abstraite des états
délocalisés. J'y reviens, c'est sans doute là que réside le bon critère de distinction entre semiconducteur et isolant, plus que dans la largeur du gap.
2.2.3.2 De même que l'hybridation des orbitales dans une molécule diatomique donne deux
états liant et antiliant d'énergies différentes, de même les N états de Bloch qui forment la
bande passent continûment d'un caractère à l'autre quand k augmente. À partir du signe de
l'élément de matrice de couplage, on se convainc aisément que pour les états s ( de la bande de
conduction), l'état de Bloch de k = O a l'énergie la plus basse. La situation est opposée pour
les liaisons p-p,o de la bande de valence, dont la courbure est négative. Les mêmes résultats
se retrouvent en considérant les variations spatiales de la fonction d'onde, qui doivent être
minimisées pour abaisser l'énergie. (Cf. fig. 2.3)
2.2.3.3 Les divers états de valence, classés selon leur moment orbital, ont un comportement
très différents. Considérons par exemple (figure 2.2) les états 13/2,r13/2) , le moment orbital
étant quantifié selon la direction k//z. Ils vont donner naissance à une bande relativement
étroite (grande masse effective ), car le couplage sera pour une bonne part de type x. Par
contre, pour les autres états I3/2,+1/2) et I1/2,+1/2) , les orbitales pz pointeront en partie les
unes vers les autres, introduisant plus de caractère o dans la liaison et une masse effective plus
légère.
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cubique simple et pour une direction de k parallèle à un des côtés de la maille, il vient
facilement :
Eh,k = E'h+V1 x&,,n*l e i k . ( R n - b ) = E'h+Vh,pcos ka
(2.6)
n,m
où l'indice p sera différent pour une liaison S-s , p-p,o ou p - p , ~
(Cf. fig. 2.3).
2.2.3 Quelques enseignements de portée générale
On peut maintenant voir quelles leçons tirer de cette théorie très simplifiée . Pour la
discussion, il est utile de visualiser la situation, schématisée sur la figure 2.3.
2.2.3.1 Pour chaque niveau atomique, ou moléculaire, discret, les N états localisés dégénérés
des atomes découplés se sont répartis, avec l'introduction du couplage, en N états délocalisés,
repérés par un indice k qui a la signification dun vecteur d'onde. Pour s'en convaincre,
observons la fonction d'onde de type liaison forte (éq.2.3), elle-même très proche d'une forme
"de Bloch" e i k . r x q h ( r - R,) . Seule la partie exponentielle dépend explicitement de k. Aux
faibles valeurs de k, elle est lentement variable à l'échelle de la maille, au contraire de la partie
périodique. Tout se passe donc comme si l'électron sautait dun site à l'autre. Cependant, la
relation E(k), parabolique aux petits k, s'exprime par une masse effective, qui n'a rien à voir
avec celle de l'électron libre, mais dépend du recouvrement V :
n
m*= A2 / 2 ~ h , ~ a 2
(2.7)
On le voit, un fort couplage entre atomes adjacents induit une grande largeur de bande,
une faible masse effective, et donne plus de "corps physique" à cette réalité abstraite des états
délocalisés. J'y reviens, c'est sans doute là que réside le bon critère de distinction entre semiconducteur et isolant, plus que dans la largeur du gap.
2.2.3.2 De même que l'hybridation des orbitales dans une molécule diatomique donne deux
états liant et antiliant d'énergies différentes, de même les N états de Bloch qui forment la
bande passent continûment d'un caractère à l'autre quand k augmente. À partir du signe de
l'élément de matrice de couplage, on se convainc aisément que pour les états s ( de la bande de
conduction), l'état de Bloch de k = O a l'énergie la plus basse. La situation est opposée pour
les liaisons p-p,o de la bande de valence, dont la courbure est négative. Les mêmes résultats
se retrouvent en considérant les variations spatiales de la fonction d'onde, qui doivent être
minimisées pour abaisser l'énergie. (Cf. fig. 2.3)
2.2.3.3 Les divers états de valence, classés selon leur moment orbital, ont un comportement
très différents. Considérons par exemple (figure 2.2) les états 13/2,r13/2) , le moment orbital
étant quantifié selon la direction k//z. Ils vont donner naissance à une bande relativement
étroite (grande masse effective ), car le couplage sera pour une bonne part de type x. Par
contre, pour les autres états I3/2,+1/2) et I1/2,+1/2) , les orbitales pz pointeront en partie les
unes vers les autres, introduisant plus de caractère o dans la liaison et une masse effective plus
légère.