L 'effet pho toréfrac tif
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la dépendance de E: avec le champ que l'on calcule, mais simplement en introduisant une
correction à l'expression de E: [49].
2.3.6 Résolution du système d'équations
Comme nous venons de le souligner, pour calculer le champ à l'intérieur du matériau il
faudrait ajouter aux équations précédentes celles gouvernant l'évolution de la permittivité
diélectrique E:. Pour le moment, nous supposons que E: est donnée. Le système d'équations
(2.8), (2.14), (2.17) et (2.18) se résout en y introduisant l'expression de l'illumination donnée
par exemple par l'équation (2.6) pour une illumination sinusoïdale.
Les équations du matériau sont non-linéaires car elles comportent des termes qui sont
des produits de grandeurs modulées spatialement. Ainsi, pour un réseau d'interférence de
nombre d'onde k,, ces produits engendrent des harmoniques de nombres d'onde 2 k,, 3 k,,
etc. Le réseau d'indice n'est pas la réplique de la figure d'illumination et comporte des
fréquences spatiales multiples. I1 n'existe pas de solution analytique générale à ce système qui
rende à la fois compte de l'évolution temporelle du champ de charge d'espace et de ces nonlinéarités. Cependant, en faisant quelques approximations qui s'avéreront légitimes dans les
applications, des solutions analytiques sont obtenues. Ces approximations conduisent de plus
à des solutions simples qui permettent de visualiser facilement les phénomènes.
Dans un premier temps nous négligerons le courant photovoltaïque dans l'équation de
conduction ce qui est justifié dans de très nombreux matériaux. Nous étudierons alors cinq de
ces cas particuliers :
- détermination du champ de charge d'espace en régime stationnaire pour une figure
d'illumination quelconque, en régime d'illumination faible et sans champ électrique appliqué ;
- détermination du champ de charge d'espace en régime stationnaire pour un réseau
d'illumination de taux de modulation quelconque et en régime d'illumination faible ;
- détermination de la cinétique d'établissement du champ de charge d'espace pour un
réseau d'illumination avec des faibles taux de modulation, en régime d'illumination faible et
quasi-continue ;
- détermination de la cinétique d'établissement du champ de charge d'espace pour un
réseau d'illumination avec des faibles taux de modulation, en régime d'illumination faible et
quasi-continue avec le transport de charge qui s'effectue simultanément par des électrons et
des trous;
- description des phénomènes intervenant en régime d'excitation impulsionnelle.
Dans un second temps nous inclurons l'effet photovoltaïque mais en négligeant le
courant de diffusion.
2.3.7 Constantes de temps, champs et longueurs caractéristiques
Afin d'alléger les notations des paragraphes suivants nous introduisons maintenant des
grandeurs caractéristiques de l'effet photoréfractif et du matériau considéré. Ces grandeurs,
temps, longueurs et champs caractéristiques ne sont pas toutes indépendantes. Nous
reviendrons sur leurs significations physiques.
2.3.7.1 Temps caractéristiaues
- La constante de temps de relaxation diélectrique (proportionnelle à 1 / I,,) :
7 , = E, €:/(e iu no) ,
(2.20)
avec
- La constante de temps de diffusion, temps mis par un électron pour migrer de A/2n sous
l'effet de l'agitation thermique et en l'absence de tout champ électrique :
la valeur moyenne de la densité d'électrons dans la bande de conduction.
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la dépendance de E: avec le champ que l'on calcule, mais simplement en introduisant une
correction à l'expression de E: [49].
2.3.6 Résolution du système d'équations
Comme nous venons de le souligner, pour calculer le champ à l'intérieur du matériau il
faudrait ajouter aux équations précédentes celles gouvernant l'évolution de la permittivité
diélectrique E:. Pour le moment, nous supposons que E: est donnée. Le système d'équations
(2.8), (2.14), (2.17) et (2.18) se résout en y introduisant l'expression de l'illumination donnée
par exemple par l'équation (2.6) pour une illumination sinusoïdale.
Les équations du matériau sont non-linéaires car elles comportent des termes qui sont
des produits de grandeurs modulées spatialement. Ainsi, pour un réseau d'interférence de
nombre d'onde k,, ces produits engendrent des harmoniques de nombres d'onde 2 k,, 3 k,,
etc. Le réseau d'indice n'est pas la réplique de la figure d'illumination et comporte des
fréquences spatiales multiples. I1 n'existe pas de solution analytique générale à ce système qui
rende à la fois compte de l'évolution temporelle du champ de charge d'espace et de ces nonlinéarités. Cependant, en faisant quelques approximations qui s'avéreront légitimes dans les
applications, des solutions analytiques sont obtenues. Ces approximations conduisent de plus
à des solutions simples qui permettent de visualiser facilement les phénomènes.
Dans un premier temps nous négligerons le courant photovoltaïque dans l'équation de
conduction ce qui est justifié dans de très nombreux matériaux. Nous étudierons alors cinq de
ces cas particuliers :
- détermination du champ de charge d'espace en régime stationnaire pour une figure
d'illumination quelconque, en régime d'illumination faible et sans champ électrique appliqué ;
- détermination du champ de charge d'espace en régime stationnaire pour un réseau
d'illumination de taux de modulation quelconque et en régime d'illumination faible ;
- détermination de la cinétique d'établissement du champ de charge d'espace pour un
réseau d'illumination avec des faibles taux de modulation, en régime d'illumination faible et
quasi-continue ;
- détermination de la cinétique d'établissement du champ de charge d'espace pour un
réseau d'illumination avec des faibles taux de modulation, en régime d'illumination faible et
quasi-continue avec le transport de charge qui s'effectue simultanément par des électrons et
des trous;
- description des phénomènes intervenant en régime d'excitation impulsionnelle.
Dans un second temps nous inclurons l'effet photovoltaïque mais en négligeant le
courant de diffusion.
2.3.7 Constantes de temps, champs et longueurs caractéristiques
Afin d'alléger les notations des paragraphes suivants nous introduisons maintenant des
grandeurs caractéristiques de l'effet photoréfractif et du matériau considéré. Ces grandeurs,
temps, longueurs et champs caractéristiques ne sont pas toutes indépendantes. Nous
reviendrons sur leurs significations physiques.
2.3.7.1 Temps caractéristiaues
- La constante de temps de relaxation diélectrique (proportionnelle à 1 / I,,) :
7 , = E, €:/(e iu no) ,
(2.20)
avec
- La constante de temps de diffusion, temps mis par un électron pour migrer de A/2n sous
l'effet de l'agitation thermique et en l'absence de tout champ électrique :
la valeur moyenne de la densité d'électrons dans la bande de conduction.