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G. Pauliat et G. Roosen
vecteur d'onde k, du réseau. Par symétrie, la densité n ne dépend également que de la
coordonnée suivant ce vecteur d'onde. Les équations se résolvent alors en calculant la densité
de courant suivant ce vecteur d'onde et en introduisant une mobilité effective définie par le
produit matriciel suivant :
(2.15)
A
-/l l -Il
fieff = irr[fi] ir avec k, = k, k .
Pour simplifier l'écriture des équations, nous omettons l'indice e f f à partir de maintenant.
2.3.4 Équation de continuité (conservation de la charge)
L'équation de conservation de la charge est valable dans tous les matériaux. Pour le schéma
énergétique de la figure 2.a, elle s'écrit sans approximation :
soit,
2.3.5 Équation de Poisson
L'équation de Poisson s'écrit quel que soit le matériau :
(2.16)
(2.17)
(2.18)
avec [ E : ] la matnce de permittivité relative statique.
Lorsqu'il n'existe pas de champ de charge d'espace (après une illumination uniforme par
exemple), le matériau est électriquement neutre localement. Dans l'obscurité, n = O, nous
obtenons alors : N'(Z = O) = N A . Si un champ électrique est inscrit dans le matériau, mais
toujours dans l'obscurité, la neutralité électrique est assurée en moyenne spatiale sur tout le
volume du matériau seulement et nous obtenons (N'(Z = O)) = N A . La charge électrique
positive des centres profonds ionisés est compensée par la charge négative des accepteurs
superficiels (près de la bande de valence).
Les coefficients de la matrice de permittivité peuvent être très différents les uns des
autres. Par exemple dans le titanate de baryum nous avons E,, = E,, = 2000 et E,, = 60. C'est
la raison pour laquelle on introduit très souvent un coefficient de permittivité diélectrique
effective lorsque le champ électrique est créé par un réseau quasi-périodique de charges. De
même que pour la mobilité, nous introduisons une permittivité diélectrique effective en
posant :
(2.19)
div( E, [ E : ] E) = E, E : , , ~ div(E) avec
Pour alléger les notations, nous omettons maintenant l'indice eff mais il convient de ne
pas oublier que la permittivité dépend de la direction du champ électrique.
Pour résoudre aisément les équations du modèle de transport de charge il serait
souhaitable que les propriétés électriques du matériau ne dépendent pas du champ électrique
que l'on cherche à calculer. Malheureusement ce n'est généralement pas vrai car les matériaux
photoréfractifs sont presque toujours piézo-électriques ce qui fait que E, ' dépend du module et
de l'orientation du champ électrique. Nous montrerons néanmoins dans le chapitre 3 que, sous
certaines conditions que nous définirons, on peut résoudre les équations sans tenir compte de
G. Pauliat et G. Roosen
vecteur d'onde k, du réseau. Par symétrie, la densité n ne dépend également que de la
coordonnée suivant ce vecteur d'onde. Les équations se résolvent alors en calculant la densité
de courant suivant ce vecteur d'onde et en introduisant une mobilité effective définie par le
produit matriciel suivant :
(2.15)
A
-/l l -Il
fieff = irr[fi] ir avec k, = k, k .
Pour simplifier l'écriture des équations, nous omettons l'indice e f f à partir de maintenant.
2.3.4 Équation de continuité (conservation de la charge)
L'équation de conservation de la charge est valable dans tous les matériaux. Pour le schéma
énergétique de la figure 2.a, elle s'écrit sans approximation :
soit,
2.3.5 Équation de Poisson
L'équation de Poisson s'écrit quel que soit le matériau :
(2.16)
(2.17)
(2.18)
avec [ E : ] la matnce de permittivité relative statique.
Lorsqu'il n'existe pas de champ de charge d'espace (après une illumination uniforme par
exemple), le matériau est électriquement neutre localement. Dans l'obscurité, n = O, nous
obtenons alors : N'(Z = O) = N A . Si un champ électrique est inscrit dans le matériau, mais
toujours dans l'obscurité, la neutralité électrique est assurée en moyenne spatiale sur tout le
volume du matériau seulement et nous obtenons (N'(Z = O)) = N A . La charge électrique
positive des centres profonds ionisés est compensée par la charge négative des accepteurs
superficiels (près de la bande de valence).
Les coefficients de la matrice de permittivité peuvent être très différents les uns des
autres. Par exemple dans le titanate de baryum nous avons E,, = E,, = 2000 et E,, = 60. C'est
la raison pour laquelle on introduit très souvent un coefficient de permittivité diélectrique
effective lorsque le champ électrique est créé par un réseau quasi-périodique de charges. De
même que pour la mobilité, nous introduisons une permittivité diélectrique effective en
posant :
(2.19)
div( E, [ E : ] E) = E, E : , , ~ div(E) avec
Pour alléger les notations, nous omettons maintenant l'indice eff mais il convient de ne
pas oublier que la permittivité dépend de la direction du champ électrique.
Pour résoudre aisément les équations du modèle de transport de charge il serait
souhaitable que les propriétés électriques du matériau ne dépendent pas du champ électrique
que l'on cherche à calculer. Malheureusement ce n'est généralement pas vrai car les matériaux
photoréfractifs sont presque toujours piézo-électriques ce qui fait que E, ' dépend du module et
de l'orientation du champ électrique. Nous montrerons néanmoins dans le chapitre 3 que, sous
certaines conditions que nous définirons, on peut résoudre les équations sans tenir compte de