Optique des semi-conducteurs
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dernière couche pleine p6 qui va donner naissance aux bandes de valence, puis, à plus haute
énergie, une première couche vide so qui donnera la bande de conduction. En ce qui concerne
cette dernière, les deux états par cellule unité correspondent évidemment à la dégénérescence
de spin. Pour les premières, trois orbitales p pointent selon les trois directions x,y,z, non
arbitraires dans un cristal cubique. Elles sont douées d'un moment orbital et, tenant compte du
spin, nous savons que les bons états sont ceux du moment angulaire total, J = L + S .
Les états "atomiques" de départ seront donc convenablement caractérisés par leurs deux
nombres quantiques du moment angulaire total, quantifié le long de la direction z. On les écrit
comme sur la figure 2.2. Les notations qui y sont employées sont particulièrement adaptées à
l'étude des transitions optiques entre bandes de valence et de conduction, avec leurs règles de
sélection de polarisation. Selon les auteurs, on trouvera s, px, py, pz, p+, p-, ou bien,
respectivement, S , X, Y, Z, X' , X- , ces notations de la partie orbitale de la fonction d'onde
étant éventuellement complétées par l'état de spin 1', k, (1' + &)/fi, etc ...
Dans les atomes, déjà, la dégénérescence est levée par l'interaction spin-orbite entre les
quatre états J = 3/2 et les deux états J = 1/2. Les premiers sont repoussés à haute énergie, et les
seconds à basse énergie (on parle parfois de bande split-on. La force de l'interaction spinorbite est liée à la charge du noyau. Elle varie donc beaucoup avec le numéro atomique de
l'anion et, de fait, explique en grande partie les variations de gap entre semi-conducteurs d'une
même famille à cation commun.
2.2.2 Formation des bandes
Revenons maintenant à la formation des bandes, dans une optique de liaison forte. Toute la
physique est dans le recouvrement des orbitales atomiques (ph (r) de sites voisins, qui donne
une pertinence à des combinaisons linéaires délocalisées, ayant les propriétés de symétrie
appropriées à des fonctions d'onde du cristal. Compte tenu donc du théorème de Bloch, la
proposition la plus simple est :
y h , k (r) = ~ - 3 1 2 eik.R. cph(r - R, )
(2.3)
n
qui devrait être fonction propre du hamiltonien du cristal :
H ( r ) = - h 2 V 2 /2m0 + C Vo(r - R i )
(2.4)
où mo est bien la masse de l'électron libre, Va est le potentiel "atomique", localisé, et où la
somme court sur toutes les cellules du cristal. Pour simplifier à l'extrême, nous négligeons
tout couplage entre différents niveaux "atomiques". C'est la raison pour laquelle nous n'avons
pas sommé sur les indices de niveau h . Nous négligerons aussi tous les termes de couplage
autres qu'entre premiers voisins, et nous supposerons les fonctions atomiques orthogonales
entre elles, ce qui assure que les fonctions (2.3) sont déjà correctement normées. Alors,
l'énergie associée à chaque fonction propre s'écrit :
i
Eh,k = V-1 ~ e i k . ( R , - R , ) ~ ( p h ( r - R m ) H ( r ) ( p h ( r - R n ) d 3 r
n,m
qui se décompose en :
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dernière couche pleine p6 qui va donner naissance aux bandes de valence, puis, à plus haute
énergie, une première couche vide so qui donnera la bande de conduction. En ce qui concerne
cette dernière, les deux états par cellule unité correspondent évidemment à la dégénérescence
de spin. Pour les premières, trois orbitales p pointent selon les trois directions x,y,z, non
arbitraires dans un cristal cubique. Elles sont douées d'un moment orbital et, tenant compte du
spin, nous savons que les bons états sont ceux du moment angulaire total, J = L + S .
Les états "atomiques" de départ seront donc convenablement caractérisés par leurs deux
nombres quantiques du moment angulaire total, quantifié le long de la direction z. On les écrit
comme sur la figure 2.2. Les notations qui y sont employées sont particulièrement adaptées à
l'étude des transitions optiques entre bandes de valence et de conduction, avec leurs règles de
sélection de polarisation. Selon les auteurs, on trouvera s, px, py, pz, p+, p-, ou bien,
respectivement, S , X, Y, Z, X' , X- , ces notations de la partie orbitale de la fonction d'onde
étant éventuellement complétées par l'état de spin 1', k, (1' + &)/fi, etc ...
Dans les atomes, déjà, la dégénérescence est levée par l'interaction spin-orbite entre les
quatre états J = 3/2 et les deux états J = 1/2. Les premiers sont repoussés à haute énergie, et les
seconds à basse énergie (on parle parfois de bande split-on. La force de l'interaction spinorbite est liée à la charge du noyau. Elle varie donc beaucoup avec le numéro atomique de
l'anion et, de fait, explique en grande partie les variations de gap entre semi-conducteurs d'une
même famille à cation commun.
2.2.2 Formation des bandes
Revenons maintenant à la formation des bandes, dans une optique de liaison forte. Toute la
physique est dans le recouvrement des orbitales atomiques (ph (r) de sites voisins, qui donne
une pertinence à des combinaisons linéaires délocalisées, ayant les propriétés de symétrie
appropriées à des fonctions d'onde du cristal. Compte tenu donc du théorème de Bloch, la
proposition la plus simple est :
y h , k (r) = ~ - 3 1 2 eik.R. cph(r - R, )
(2.3)
n
qui devrait être fonction propre du hamiltonien du cristal :
H ( r ) = - h 2 V 2 /2m0 + C Vo(r - R i )
(2.4)
où mo est bien la masse de l'électron libre, Va est le potentiel "atomique", localisé, et où la
somme court sur toutes les cellules du cristal. Pour simplifier à l'extrême, nous négligeons
tout couplage entre différents niveaux "atomiques". C'est la raison pour laquelle nous n'avons
pas sommé sur les indices de niveau h . Nous négligerons aussi tous les termes de couplage
autres qu'entre premiers voisins, et nous supposerons les fonctions atomiques orthogonales
entre elles, ce qui assure que les fonctions (2.3) sont déjà correctement normées. Alors,
l'énergie associée à chaque fonction propre s'écrit :
i
Eh,k = V-1 ~ e i k . ( R , - R , ) ~ ( p h ( r - R m ) H ( r ) ( p h ( r - R n ) d 3 r
n,m
qui se décompose en :