Optique des semi-conducteurs
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proposition est équivalente à R, = niai où les ai sont les vecteurs de base dune cellule
unité (ou "maille") et les ni sont des entiers (Cf. fig. 2.1 a et b. Notez que la maille n'est pas le
Le hamiltonien total, H = p 2 /2m, +V(r) ayant la même propriété d'invariance par
translation que V(r) , le théorème de Bloch n'exprime rien d'autre que la proposition suivante :
il existe un ensemble de fonctions propres de l'énergie @ des translations du réseau. Des
propriétés du groupe des translations du réseau, on déduit aisément [YC p. 161 que les valeurs
propres des translations T(Rn) affectent la forme exp (ik.Rn), où k, vecteur d'onde, est défini
à un vecteur du réseau réciproque près. La notion de réseau réciproque s'impose facilement
dans le problème. C'est le réseau des vecteurs d'onde g tels que g.Rn = 2nN (N entier).
L'espace des k est donc lui aussi périodique, et l'on connaîtra toute la physique en n'explorant
qu'une seule cellule unité du réseau réciproque, la zone de Brillouin (ZB). On trouvera sur la
figure 2.ld une esquisse de la lkE zone de Brillouin d'une structure blende de zinc faisant
apparaître quelques points remarquables qu'il est utile de savoir repérer.
Si l'on choisit donc comme base l'ensemble commode formé par les fonctions propres des
translations, chaque élément v(r) en sera caractérisé :
- par les valeurs propres des opérateurs translations exp(ik.R,).
- par d'autres nombres quantiques, symbolisés par l'indice h .
Alors, vh,k (r + R n ) = eikJ vh,k (r) , qui ne diffère de vh,k (i) que par un facteur de
Satisfont à cette relation plusieurs formes de fonctions d'onde commodes, et d'abord la
(2.1)
i
cube).
phase, et qui est aussi fonction propre du hamiltonien avec la même valeur propre.
fonction "de Bloch" :
vk,k (r) = ~ - 1 1 2 eik-r UX,k (r)
où U X , k (r) est invariante par les translations T(R,), donc a la même périodicité que le cristal.
De plus, V est le volume du cristal, et la fonction d'onde est normalisée à 1 sur ce volume, ce
qui impose la normalisation des Uh,k (r) à 1 sur la maille élémentaire.
Pour prendre en compte le caractère fini du cristal, il est traditionnel d'imposer des
conditions aux limites périodiques, du type vh,k(r + L i ) = v h , k ( r ) , où Li = Nia; est ia
longueur totale du cristal dans la direction i. Cette démarche, dite de Born-von Karman
(BVK), est la plus élégante au plan mathématique pour rendre compte des situations
physiques où la taille (macroscopique) du cristal ne peut influer sur les propriétés
microscopiques. Comme souvent, il faudra faire preuve d'un peu de sens physique pour
trouver les critères du (c macroscopique ». Ce sera le cas lorsque la cohérence Quantique des
fonctions d'onde ne peut être maintenue en pratique sur aucune des dimensions du cristal.
Dans le cas contraire, où la taille du cristal est plus petite, au moins dans une direction, que
cette longueur de cohérence, tout en restant assez grande par rapport à la maille élémentaire
pour justifier l'approche de Bloch, on parle de méso-, micro- ou nano-structures. Alors, il faut
bien sûr imposer aux fonctions d'onde des conditions aux limites adéquates : pour un nanocristal isolé, ce sera l'annulation aux bords ; dans les hétérostructures, comme nous le verrons,
ce seront d'autres plus subtiles mais qualitativement équivalentes.
En tout cas, l'effet de ces conditions aux limites est de limiter la densité des k possibles et
donc, à l'intérieur dune zone de Brillouin, de limiter leur nombre. On montre aisément que le
nombre total de k possibles et physiquement différents est égal au nombre de cellules unités.
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proposition est équivalente à R, = niai où les ai sont les vecteurs de base dune cellule
unité (ou "maille") et les ni sont des entiers (Cf. fig. 2.1 a et b. Notez que la maille n'est pas le
Le hamiltonien total, H = p 2 /2m, +V(r) ayant la même propriété d'invariance par
translation que V(r) , le théorème de Bloch n'exprime rien d'autre que la proposition suivante :
il existe un ensemble de fonctions propres de l'énergie @ des translations du réseau. Des
propriétés du groupe des translations du réseau, on déduit aisément [YC p. 161 que les valeurs
propres des translations T(Rn) affectent la forme exp (ik.Rn), où k, vecteur d'onde, est défini
à un vecteur du réseau réciproque près. La notion de réseau réciproque s'impose facilement
dans le problème. C'est le réseau des vecteurs d'onde g tels que g.Rn = 2nN (N entier).
L'espace des k est donc lui aussi périodique, et l'on connaîtra toute la physique en n'explorant
qu'une seule cellule unité du réseau réciproque, la zone de Brillouin (ZB). On trouvera sur la
figure 2.ld une esquisse de la lkE zone de Brillouin d'une structure blende de zinc faisant
apparaître quelques points remarquables qu'il est utile de savoir repérer.
Si l'on choisit donc comme base l'ensemble commode formé par les fonctions propres des
translations, chaque élément v(r) en sera caractérisé :
- par les valeurs propres des opérateurs translations exp(ik.R,).
- par d'autres nombres quantiques, symbolisés par l'indice h .
Alors, vh,k (r + R n ) = eikJ vh,k (r) , qui ne diffère de vh,k (i) que par un facteur de
Satisfont à cette relation plusieurs formes de fonctions d'onde commodes, et d'abord la
(2.1)
i
cube).
phase, et qui est aussi fonction propre du hamiltonien avec la même valeur propre.
fonction "de Bloch" :
vk,k (r) = ~ - 1 1 2 eik-r UX,k (r)
où U X , k (r) est invariante par les translations T(R,), donc a la même périodicité que le cristal.
De plus, V est le volume du cristal, et la fonction d'onde est normalisée à 1 sur ce volume, ce
qui impose la normalisation des Uh,k (r) à 1 sur la maille élémentaire.
Pour prendre en compte le caractère fini du cristal, il est traditionnel d'imposer des
conditions aux limites périodiques, du type vh,k(r + L i ) = v h , k ( r ) , où Li = Nia; est ia
longueur totale du cristal dans la direction i. Cette démarche, dite de Born-von Karman
(BVK), est la plus élégante au plan mathématique pour rendre compte des situations
physiques où la taille (macroscopique) du cristal ne peut influer sur les propriétés
microscopiques. Comme souvent, il faudra faire preuve d'un peu de sens physique pour
trouver les critères du (c macroscopique ». Ce sera le cas lorsque la cohérence Quantique des
fonctions d'onde ne peut être maintenue en pratique sur aucune des dimensions du cristal.
Dans le cas contraire, où la taille du cristal est plus petite, au moins dans une direction, que
cette longueur de cohérence, tout en restant assez grande par rapport à la maille élémentaire
pour justifier l'approche de Bloch, on parle de méso-, micro- ou nano-structures. Alors, il faut
bien sûr imposer aux fonctions d'onde des conditions aux limites adéquates : pour un nanocristal isolé, ce sera l'annulation aux bords ; dans les hétérostructures, comme nous le verrons,
ce seront d'autres plus subtiles mais qualitativement équivalentes.
En tout cas, l'effet de ces conditions aux limites est de limiter la densité des k possibles et
donc, à l'intérieur dune zone de Brillouin, de limiter leur nombre. On montre aisément que le
nombre total de k possibles et physiquement différents est égal au nombre de cellules unités.