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G. Vitrant
En régime non linéaire, y, dépend de l'amplitude guidée excitée A, ( z ) définie dans
l'espace réel, donc transformée de Fourier de A, (y) :
où y, est le vecteur d'onde moyen de l'onde incidente. 6 est un coefficient non linéaire égal à
k.nZef. L'équation (32) permet de calculer en tout point l'amplitude guidée excitée en régime
linéaire comme non linéaire, lorsque le coupleur est excité par un faisceau de profil
quelconque. il nous reste, pour décrire la structure, à obtenir une expression des champs
émergents rayonnés. Les ondes émergentes résultent de la superposition cohérente de deux
termes, l'un constant provient de la réflectivité directe de l'onde incidente. il est insensible à la
résonance. L'autre est issu du découplage de l'onde guidée excitée et est résonant :
L'addition de ces deux termes peut se réécrire en faisant apparaître un zéro y, comme
dans le deuxième membre de (33). Pour y = y, la réflectivité devient nulle. Notons que y, est
généralement complexe alors que y est réel par définition. Une réflectivité nulle ne peut être
effectivement observée expérimentalement que si y, devient réel. Dans un coupleur à prisme
cette situation se produit lorsque les pertes par absorption sont égales aux pertes par
rayonnement. Dans un coupleur à réseau, la situation est plus complexe et des zéros peuvent
apparaître sur certains ordres diffractés. Insistons sur le fait que le pôle y, est lié à la
résonance et est le même pour tous les ordres rayonnés, alors que le coefficient r e t le zéro y,
dépendent de l'ordre émergent.
La figure 15 illustre numériquement la validité de cette approche. L'amplitude diffractée
dans différents ordres dun coupleur à réseau est tracée en fonction de l'angle d'incidence. Le
calcul dit "modal" résulte de l'approche développée ci-dessus. Le calcul dit "exact" a été
réalisé à partir de la méthode différentielle [45] qui consiste à résoudre numériquement de
manière exacte les équations de Maxwell dans la structure diffractante. L'accord est excellent
en régime linéaire comme non linéaire [46].
Nous souhaiterions finir cette partie en mentionnant les difficultés dun traitement
électromagnétique rigoureux de ces structures ouvertes non linéaires, difficultés masquées par
le développement au pôle décrit ci-dessus. Justement parce que la structure est ouverte sur un
milieu infini la constitution d'une base pour un développement du champ est délicate. La
notion de mode guidé disparaît dès l'ouverture de la structure pour laisser la place à un mode à
fuite. Toutefois ce mode à fuite est exponentiellement divergent à l'infini de sorte qu'il est non
normalisable et ne peut pas être complété pour former une base. En particulier l'équation (8)
ne peut pas être utilisée pour calculer n2eff puisque les intégrales sont divergentes.
En régime linéaire, il est facile de résoudre le problème par un développement en ondes
planes caractérisées par la composante longitudinale du vecteur donde (représentation
longitudinale). On peut aussi développer le champ sur la base constituée des modes guidés et
des modes rayonnés, caractérisés par la composante transverse (représentation transverse)
(fig. 16). Dans le cas des structures ouvertes, les modes guidés n'existent plus et il ne reste
plus qu'un développement sur les modes rayonnés. Cette formulation ne fait plus ressortir le
rôle essentiel des résonances. Les modes à fuite associés aux résonances apparaissent comme
des paquets de modes rayonnés d'amplitude plus importante.
G. Vitrant
En régime non linéaire, y, dépend de l'amplitude guidée excitée A, ( z ) définie dans
l'espace réel, donc transformée de Fourier de A, (y) :
où y, est le vecteur d'onde moyen de l'onde incidente. 6 est un coefficient non linéaire égal à
k.nZef. L'équation (32) permet de calculer en tout point l'amplitude guidée excitée en régime
linéaire comme non linéaire, lorsque le coupleur est excité par un faisceau de profil
quelconque. il nous reste, pour décrire la structure, à obtenir une expression des champs
émergents rayonnés. Les ondes émergentes résultent de la superposition cohérente de deux
termes, l'un constant provient de la réflectivité directe de l'onde incidente. il est insensible à la
résonance. L'autre est issu du découplage de l'onde guidée excitée et est résonant :
L'addition de ces deux termes peut se réécrire en faisant apparaître un zéro y, comme
dans le deuxième membre de (33). Pour y = y, la réflectivité devient nulle. Notons que y, est
généralement complexe alors que y est réel par définition. Une réflectivité nulle ne peut être
effectivement observée expérimentalement que si y, devient réel. Dans un coupleur à prisme
cette situation se produit lorsque les pertes par absorption sont égales aux pertes par
rayonnement. Dans un coupleur à réseau, la situation est plus complexe et des zéros peuvent
apparaître sur certains ordres diffractés. Insistons sur le fait que le pôle y, est lié à la
résonance et est le même pour tous les ordres rayonnés, alors que le coefficient r e t le zéro y,
dépendent de l'ordre émergent.
La figure 15 illustre numériquement la validité de cette approche. L'amplitude diffractée
dans différents ordres dun coupleur à réseau est tracée en fonction de l'angle d'incidence. Le
calcul dit "modal" résulte de l'approche développée ci-dessus. Le calcul dit "exact" a été
réalisé à partir de la méthode différentielle [45] qui consiste à résoudre numériquement de
manière exacte les équations de Maxwell dans la structure diffractante. L'accord est excellent
en régime linéaire comme non linéaire [46].
Nous souhaiterions finir cette partie en mentionnant les difficultés dun traitement
électromagnétique rigoureux de ces structures ouvertes non linéaires, difficultés masquées par
le développement au pôle décrit ci-dessus. Justement parce que la structure est ouverte sur un
milieu infini la constitution d'une base pour un développement du champ est délicate. La
notion de mode guidé disparaît dès l'ouverture de la structure pour laisser la place à un mode à
fuite. Toutefois ce mode à fuite est exponentiellement divergent à l'infini de sorte qu'il est non
normalisable et ne peut pas être complété pour former une base. En particulier l'équation (8)
ne peut pas être utilisée pour calculer n2eff puisque les intégrales sont divergentes.
En régime linéaire, il est facile de résoudre le problème par un développement en ondes
planes caractérisées par la composante longitudinale du vecteur donde (représentation
longitudinale). On peut aussi développer le champ sur la base constituée des modes guidés et
des modes rayonnés, caractérisés par la composante transverse (représentation transverse)
(fig. 16). Dans le cas des structures ouvertes, les modes guidés n'existent plus et il ne reste
plus qu'un développement sur les modes rayonnés. Cette formulation ne fait plus ressortir le
rôle essentiel des résonances. Les modes à fuite associés aux résonances apparaissent comme
des paquets de modes rayonnés d'amplitude plus importante.