Méthodes expérimentales de l’optique non linéaire
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Nous allons maintenant discuter la dispersion qualitativement, en introduisant quelques
modifications au modèle simple.
Tout d’abord si l’on calcule la relation de dispersion en mécanique quantique à partir
d’un modèle analogue de celui présenté ici, on obtient aussi le résultat donné par
l‘équation ( 1 3 ) Dans ce modèle, on élimine le couplage fort champ-matière par une
transformation de Bogoliubov. La polarisabilité atomique macroscopique a est dans ce cas
remplacée par la force d’oscillateur fi, qui est proportionnelle au carré de l’élément de
transition entre l’état fondamental “ O ” et l’état final “ j ” [ 1,2] sous l’action du champ
périodique. Si le système possède plusieurs résonances dipolactives isolées, il faut sommer sur
ces différentes contributions. De plus, on peut considérer le cas où les oscillateurs
harmoniques sont couplés entre eux et sont amortis par un terme de forme - y , FA dans
l’équation différentielle (10). Le résultat est donné par l’expression :
c 2 k 2
pj W d 2 ( k =O)
E ( k , @ ) = , = l + C
, 2
w
j WO ( k ) - w 2 - i O y j
où E est une fonction complexe. De plus, dans le cas des excitons polaritons, on montre [ 1, 21
que :
est donné par l’interaction d’échange non analytique entre électron et trou. 00 ( k ) donne la
dispersion des excitons qui est habituellement considérée dans l’approximation de la masse
effective (donc avec “ dispersion spatiale ”).
où M est la masse effective du mouvement du centre de masse de l’exciton et Ak sa quantité
de mouvement. Si une des résonances “ j ” est très loin et bien isolée des autres, on peut
simplifier l’équation (17) pour O autour de 6 ~ 0 et on obtient dans cette “ approximation à un
oscillateur ” :
où nous avons considéré l’indice j comme étant muet et où &b désigne la constahte diélectrique
dit du “ background ”, terme simulant l’influence de toutes les autres transitions qui sont
permises et qui sont excitées virtuellement par le champ électromagnétique. Pour y = O,
l’équation (17) possède une solution analytique de forme :
avec A = f i 2 c2 Q 2 / E ~
+ h ’w,’ ( Q ) (1 + p) , B 2 = A 4 C 2 Q 2 CO,’ (Q) / E , , EL = AWL et Eo = fi00
Q est la quantité de mouvement (dans ce cas réel) de l’exciton-polariton. Les solutions de
l’équation (20) sont présentées sur la figure 2
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Nous allons maintenant discuter la dispersion qualitativement, en introduisant quelques
modifications au modèle simple.
Tout d’abord si l’on calcule la relation de dispersion en mécanique quantique à partir
d’un modèle analogue de celui présenté ici, on obtient aussi le résultat donné par
l‘équation ( 1 3 ) Dans ce modèle, on élimine le couplage fort champ-matière par une
transformation de Bogoliubov. La polarisabilité atomique macroscopique a est dans ce cas
remplacée par la force d’oscillateur fi, qui est proportionnelle au carré de l’élément de
transition entre l’état fondamental “ O ” et l’état final “ j ” [ 1,2] sous l’action du champ
périodique. Si le système possède plusieurs résonances dipolactives isolées, il faut sommer sur
ces différentes contributions. De plus, on peut considérer le cas où les oscillateurs
harmoniques sont couplés entre eux et sont amortis par un terme de forme - y , FA dans
l’équation différentielle (10). Le résultat est donné par l’expression :
c 2 k 2
pj W d 2 ( k =O)
E ( k , @ ) = , = l + C
, 2
w
j WO ( k ) - w 2 - i O y j
où E est une fonction complexe. De plus, dans le cas des excitons polaritons, on montre [ 1, 21
que :
est donné par l’interaction d’échange non analytique entre électron et trou. 00 ( k ) donne la
dispersion des excitons qui est habituellement considérée dans l’approximation de la masse
effective (donc avec “ dispersion spatiale ”).
où M est la masse effective du mouvement du centre de masse de l’exciton et Ak sa quantité
de mouvement. Si une des résonances “ j ” est très loin et bien isolée des autres, on peut
simplifier l’équation (17) pour O autour de 6 ~ 0 et on obtient dans cette “ approximation à un
oscillateur ” :
où nous avons considéré l’indice j comme étant muet et où &b désigne la constahte diélectrique
dit du “ background ”, terme simulant l’influence de toutes les autres transitions qui sont
permises et qui sont excitées virtuellement par le champ électromagnétique. Pour y = O,
l’équation (17) possède une solution analytique de forme :
avec A = f i 2 c2 Q 2 / E ~
+ h ’w,’ ( Q ) (1 + p) , B 2 = A 4 C 2 Q 2 CO,’ (Q) / E , , EL = AWL et Eo = fi00
Q est la quantité de mouvement (dans ce cas réel) de l’exciton-polariton. Les solutions de
l’équation (20) sont présentées sur la figure 2