4 X-ray Dichroisms in Spherical Tensor and Green’s Function Formalism
115
σ (3, −3) = π
2
αωk
2
× Im
1
8
(k x + ik y )
2
−
∗
z (( x + i y ) + z ((
∗
x + i
∗
y )
×
I |r
2 C
∗
2,1 G
+ r
2 C 2,−2 |I + +I |r
2 C
∗
2,2 G
+ r
2 C 2,−1 |I
.
(4.74)
4.2.7 Term a = 4
The term a = 4 consists of nine components, namely, σ (4, 0), σ (4, 1), σ (4, −1),
σ (4, 2), σ (4, −2), σ (4, 3), σ (4, −3), σ (4, 4), and σ (4, −4)
σ (4, 0) = π
2
αωk
2
× Im
1
140
[3k
2
x x + k
2
y x − 4k
2
z x + 2k x k y y − 8k x k z z ]
∗
x
+[k
2
x y + 3k
2
y y − 4k
2
z y + 2k x k y x − 8k y k z z ]
∗
y
−4
∗
z [ z (k
2
x + k
2
y − 2k
2
z ) + 2k z (k x x + k y y )]
×
6I |r
2 C
∗
2,0 G
+ r
2 C 2,0 |I − 4I |r
2 C
∗
2,1 G
+ r
2 C 2,1 |I
−4I |r
2 C
∗
2,−1 G
+ r
2 C 2,−1 |I + +I |r
2 C
∗
2,2 G
+ r
2 C 2,2 |I
++I |r
2 C
∗
2,−2 G
+ r
2 C 2,−2 |I
,
(4.75)
σ (4, 1) = π 2 αωk 2 × Im
1
56
∗
x
3k 2
x z − 2ik x (k y z + 3ik z x + k z y ) + z (k 2
y − 4k 2
z )
+2k y k z (( y − i x )
− i ∗
y
z (k 2
x + 2ik x k y + 3k 2
y − 4k 2
z )
+2k z (k x x + ik x y + ik y x + 3k y y )
+ ∗
z
k 2
x (3 x − i y )
+2k x k y (( y − i x ) − 8k x k z z + k 2
y (( x − 3i y ) + 8ik y k z z − 4k 2
z (( x − i y )
×
√
6I |r 2 C ∗
2,0 G + r 2 C 2,1 |I −
√
6I |r 2 C ∗
2,−1 G + r 2 C 2,0 |I
I |r 2 C ∗
2,−2 G + r 2 C 2,−1 |I − −I |r 2 C ∗
2,1 G + r 2 C 2,2 |I
,
(4.76)