112
H. Elnaggar et al.
4.2.5 Term a = 2
The term a = 2 consists of five components, namely, σ (2, 0), σ (2, 1), σ (2, −1),
σ (2, 2), and σ (2, −2)
σ (2, 0) = π
2
αωk
2
× Im
1
84
(4k
2
x x − 2k x k y y + k x k z z + 6k
2
y x − 3k
2
z x ))
∗
x
+(6k
2
x y − 2k x k y x + 4k
2
y y + k y k z z − 3k
2
z y ))
∗
y
+(−3k
2
x z + k x k z x − 3k
2
y z + k y k z y − 8k
2
z z ))
∗
z
×
2I |r
2 C
∗
2,2 G
+ r
2 C 2,2 |I + 2I |r
2 C
∗
2,−2 G
+ r
2 C 2,−2 |I
−2I |r
2 C
∗
2,0 G
+ r
2 C 2,0 |I − −I |r
2 C
∗
2,1 G
+ r
2 C 2,1 |I
−−I |r
2 C
∗
2,−1 G
+ r
2 C 2,−1 |I
,
(4.63)
σ (2, 1) = π 2 αωk 2 × Im
−1
168
(4k x x − 6ik y x + ik x y − ky y )k z
+(2k 2
x + ik x k y + 3k 2
y + 2k 2
z )) z
∗
x − i
(−k x x − ik y x + 6ik x y + 4ky y )k z
+(3k 2
x − ik x k y + 2(k 2
y + k 2
z ))) z
∗
y +
2k 2
z (( x − i y ) + k 2
y (3 x − 2i y )
+k 2
x (2 x − 3i y ) − 4ik y k z z + k x (ik y x − k y y + 4k z z )
∗
z
×
√
6I |r 2 C ∗
2,0 G + r 2 C 2,1 |I −
√
6I |r 2 C ∗
2,−1 G + r 2 C 2,0 |I
+6I |r 2 C ∗
2,1 G + r 2 C 2,2 |I − 6I |r 2 C ∗
2,−2 G + r 2 C 2,−1 |I
,
(4.64)
σ (2, −1) = π 2 αωk 2 × Im
1
168
6ik y k z x − k y k z y + 2k 2
x z + 3k 2
y z + 2k 2
z z
−ik x (4ik z x + k z y + k y z )
∗
x + i
− k x k z (( x + 6i y ) + k y k z (i x + 4 y )
+3k 2
x z + ik x k y z + 2(k 2
y + kz 2 )) z
∗
y +
2k 2
z (( x + i y ) + k 2
y (3 x + 2i y )
+k 2
x (2 x + 3i y ) + 4ikykz z + k x (−ik y x − k y y + 4k z z )
∗
z
×
√
6I |r 2 C ∗
2,0 G + r 2 C 2,−1 |I −
√
6I |r 2 C ∗
2,1 G + r 2 C 2,0 |I
+6I |r 2 C ∗
2,−1 G + r 2 C 2,−2 |I − 6I |r 2 C ∗
2,2 G + r 2 C 2,1 |I
,
(4.65)