4 X-ray Dichroisms in Spherical Tensor and Green’s Function Formalism
111
4.2.4 Term a = 1
The term a = 1 consists of three components, namely, σ (1, 0), σ (1, 1) and σ (1, −1)
σ (1, 0) = π
2
αωk
2
× Im
i
20
(2k
2
x + 2k
2
y + k
2
z )) x
∗
y − (2k
2
x + 2k
2
y + k
2
z ))
∗
x y
+k y k z x
∗
z − k y k z
∗
x z + k x k z z
∗
y − k x k z y
∗
z
×
I |r
2 C
∗
2,1 G
+ r
2 C 2,1 |I − −I |r
2 C
∗
2,−1 G
+ r
2 C 2,−1 |I
+2I |r
2 C
∗
2,2 G
+ r
2 C 2,2 |I − 2I |r
2 C
∗
2,−2 G
+ r
2 C 2,−2 |I
,
(4.60)
σ (1, 1) = π 2 αωk 2 × Im
1
40
(2k 2
x + k 2
y + 2k 2
z − ik x k y )) ∗
x z
−(2k 2
x + k 2
y + 2k 2
z − ik x k y )) x ∗
z − i(k 2
x + 2k 2
y + 2k 2
z + ik x k y )) ∗
y z
+i(k 2
x + 2k 2
y + 2k 2
z + ik x k y )) y ∗
z + (k y + ik x )k z ∗
x y − i(k x − ik y )k z x ∗
y
×
√
6I |r 2 C ∗
2,−1 G + r 2 C 2,0 |I +
√
6I |r 2 C ∗
2,0 G + r 2 C 2,1 |I
+2I |r 2 C ∗
2,−2 G + r 2 C 2,−1 |I + 2I |r 2 C ∗
2,1 G + r 2 C 2,2 |I
,
(4.61)
σ (1, −1) = π 2 αωk 2 × Im
−1
40
(2k 2
x + k 2
y + 2k 2
z + ik x k y )) ∗
x z
−(2k 2
x + k 2
y + 2k 2
z + ik x k y )) x ∗
z + i(k 2
x + 2k 2
y + 2k 2
z − ik x k y )) ∗
y z
−i(k 2
x + 2k 2
y + 2k 2
z − ik x k y )) y ∗
z + k z (k y − ik x )) ∗
x y + ik z (k x + ik y )) x ∗
y
×
√
6I |r 2 C ∗
2,1 G + r C
2,0 |I +
√
6I |r 2 C ∗
2,0 G + r 2 C 2,−1 |I
+2I |r 2 C ∗
2,2 G + r 2 C 2,1 |I + 2I |r 2 C ∗
2,−1 G + r 2 C 2,−2 |I
.
(4.62)
A quick check of (4.60), (4.61) and (4.62) reveals that the term a = 1 is zero for
linear light. This implies that these fundamental spectra can only be probed with
circular or elliptically polarized light. It is also clear that if the conductivity tensor
has no off-diagonal terms, and satisfies
I |r
2 C
∗
2,1 G
+ r
2 C 2,1 |I = =I |r
2 C
∗
2,−1 G
+ r
2 C 2,−1 |I ,
I |r
2 C
∗
2,2 G
+ r
2 C 2,2 |I = =I |r
2 C
∗
2,−2 G
+ r
2 C 2,−2 |I ,
then the term a = 1 is again zero.