Contents
ix
5.8
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6
Quantum Dynamics and Random Matrix Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2
Invariant Measure for the GOE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3
Probability Density that Extremizes Information . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.3.1
Polar Form of Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3.2
Cluster Expansion of the Probability Density . . . . . . . . . . . 164
6.4
Eigenvalue Statistics: Gaussian Orthogonal Ensemble . . . . . . . . . . . 167
6.4.1
Eigenvalue Number Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.2
Eigenvalue Two-Body Correlations: 3 -Statistic . . . . . . . 172
6.4.3
Eigenvalue Nearest Neighbor Spacing
Distribution (GOE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.5
Eigenvector Statistics: Gaussian Orthogonal Ensemble. . . . . . . . . . . 183
6.6
Thermalization of Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.7
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7
Bounded Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2
Quantum Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3
Symmetries and Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.4
The Quantized Baker’s Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.5
Quantum Billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.5.1
The Stadium Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.5.2
The Sinai Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.5.3
The Ripple Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.6
Peres Test for Quantum Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.6.1
Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.6.2
The D-Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.7
Quantum Spin Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.7.1
The XY Models with Anisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.7.2
The XY Model with an Applied Magnetic Field . . . . . . . . 226
7.8
Coupled Morse Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.9
Signatures of Chaos in a Soft Sinai Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.10
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8
Manifestations of Chaos in Quantum Scattering Processes. . . . . . . . . . . . 239
8.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.2
Random Matrix Theory and Nuclear Scattering Processes . . . . . . . 241
8.3
Scattering Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.3.1
Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3.2
Energy Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.3.3
The Reaction Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.3.4
The Scattering Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
ix
5.8
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6
Quantum Dynamics and Random Matrix Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2
Invariant Measure for the GOE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3
Probability Density that Extremizes Information . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.3.1
Polar Form of Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3.2
Cluster Expansion of the Probability Density . . . . . . . . . . . 164
6.4
Eigenvalue Statistics: Gaussian Orthogonal Ensemble . . . . . . . . . . . 167
6.4.1
Eigenvalue Number Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.2
Eigenvalue Two-Body Correlations: 3 -Statistic . . . . . . . 172
6.4.3
Eigenvalue Nearest Neighbor Spacing
Distribution (GOE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.5
Eigenvector Statistics: Gaussian Orthogonal Ensemble. . . . . . . . . . . 183
6.6
Thermalization of Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.7
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
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Bounded Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2
Quantum Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3
Symmetries and Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.4
The Quantized Baker’s Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.5
Quantum Billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.5.1
The Stadium Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.5.2
The Sinai Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.5.3
The Ripple Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.6
Peres Test for Quantum Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.6.1
Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.6.2
The D-Billiard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.7
Quantum Spin Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.7.1
The XY Models with Anisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.7.2
The XY Model with an Applied Magnetic Field . . . . . . . . 226
7.8
Coupled Morse Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.9
Signatures of Chaos in a Soft Sinai Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.10
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8
Manifestations of Chaos in Quantum Scattering Processes. . . . . . . . . . . . 239
8.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.2
Random Matrix Theory and Nuclear Scattering Processes . . . . . . . 241
8.3
Scattering Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.3.1
Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3.2
Energy Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.3.3
The Reaction Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.3.4
The Scattering Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251