viii
Contents
3.2.3
Birkhoff Fixed Point Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.4
The Tangent Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5
Homoclinic and Heteroclinic Points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3
The Standard Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4
Scaling Behavior of Noble KAM Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5
Renormalization in Twist Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5.1
Integrable Twist Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.2
Nonintegrable Twist Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.3
The Universal Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6
Bifurcation of M-Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.1
Some General Properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.2
The Quadratic Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6.3
Scaling in the Quadratic de Vogelaere Map . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7
Cantori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.8
Renormalization Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8.1
Expression for the Renormalization Map . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8.2
Fixed Points of the Renormalization Map . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4
Chaotic Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2
The Complete Ternary Horseshoe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1
Double Gaussian Potential Energy Peaks . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.2
Delta-Kicked System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3
Scattering Chaos in a Magnetic Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4
Model of Chlorine Ion in a Radiation Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4.1
Scattering Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2
Delay Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.3
Symbolic Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5
Chaos in the HOCl Molecular System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.1
Homoclinic Tangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.2
Scattering Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5
Arnol’d Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2
The Arnol’d Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3
Arnol’d Diffusion and Nekhoroshev Time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4
Graphical Evolution of the Arnol’d Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5
Arnol’d Diffusion in an Optical Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.1
Arnol’d Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.2
Arnol’d Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.6
Stability of the Solar System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.7
Colliding Beam Synchrotron Particle Accelerator . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Contents
3.2.3
Birkhoff Fixed Point Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.4
The Tangent Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5
Homoclinic and Heteroclinic Points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3
The Standard Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4
Scaling Behavior of Noble KAM Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5
Renormalization in Twist Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5.1
Integrable Twist Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.2
Nonintegrable Twist Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.3
The Universal Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6
Bifurcation of M-Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.1
Some General Properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.2
The Quadratic Map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6.3
Scaling in the Quadratic de Vogelaere Map . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7
Cantori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.8
Renormalization Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8.1
Expression for the Renormalization Map . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8.2
Fixed Points of the Renormalization Map . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4
Chaotic Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2
The Complete Ternary Horseshoe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1
Double Gaussian Potential Energy Peaks . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.2
Delta-Kicked System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3
Scattering Chaos in a Magnetic Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4
Model of Chlorine Ion in a Radiation Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4.1
Scattering Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2
Delay Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.3
Symbolic Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5
Chaos in the HOCl Molecular System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.1
Homoclinic Tangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.2
Scattering Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5
Arnol’d Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2
The Arnol’d Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3
Arnol’d Diffusion and Nekhoroshev Time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4
Graphical Evolution of the Arnol’d Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5
Arnol’d Diffusion in an Optical Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.1
Arnol’d Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.2
Arnol’d Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.6
Stability of the Solar System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.7
Colliding Beam Synchrotron Particle Accelerator . . . . . . . . . . . . . . . . 151