Contents
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Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Historical Overview. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Plan of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2
Fundamental Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2
Conventional Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Integrable Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2
Hidden Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4
Poincaré Surface of Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1
Henon-Heiles System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2
The HOCl Molecule and Birkhoff Coordinates. . . . . . . . . . 23
2.4.3
Lattice Surfaces of Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5
Nonlinear Resonance and Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1
Single-Resonance Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2
Two-Resonance Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6
KAM Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.1
The KAM theorem (for N = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7
The Definition of Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.1
Lyapounov Exponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.2
KS Metric Entropy and K-Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
Area-Preserving Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2
Twist Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1
Derivation of a Twist Map from a Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2
Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
vii
1
Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2
Historical Overview. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3
Plan of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fundamental Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2
Conventional Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Integrable Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2
Hidden Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4
Poincaré Surface of Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1
Henon-Heiles System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2
The HOCl Molecule and Birkhoff Coordinates. . . . . . . . . . 23
2.4.3
Lattice Surfaces of Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5
Nonlinear Resonance and Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1
Single-Resonance Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2
Two-Resonance Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6
KAM Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.1
The KAM theorem (for N = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7
The Definition of Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.1
Lyapounov Exponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.2
KS Metric Entropy and K-Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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Area-Preserving Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2
Twist Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1
Derivation of a Twist Map from a Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2
Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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