x
Contents
8.4
Wigner–Smith and Partial Delay Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.4.1
Delay Time of a Wave Packet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.4.2
Delay Times for Multichannel Scattering . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.4.3
Delay Times and Complex Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.5
Scattering in the Ripple Waveguide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.5.1
Scattering Resonances in a Ripple Waveguide . . . . . . . . . . 263
8.5.2
Wigner–Smith Delay Times for a Chaotic
Scattering System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.6
COE and GOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.6.1
Circular Orthogonal Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.6.2
Lorentzian Orthogonal Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.6.3
The Relation Between COE and OE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.6.4
When Does a GOE Hamiltonian Yield a COE
S-Matrix? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.7
Experimental Observation of RMT Predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.7.1
Experimental Nuclear Spectral Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.7.2
Experimental Molecular Spectral Statistics .............. 287
8.8
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9
Semiclassical Theory: Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.2
Green’s Function and Density of States. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.3
The Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.4
Semiclassical Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.4.1
Method of Stationary Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.4.2
The Semiclassical Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9.4.3
Conjugate Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
9.5
Energy Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
9.5.1
General Expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.5.2
Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.6
Gutzwiller Trace Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.6.1
Stationary Phase Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.7
Anisotropic Kepler System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.8
Diamagnetic Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.8.1
The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.8.2
Absorption Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.8.3
Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.8.4
Semiclassical Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.9
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10 Time-Periodic Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.2
Floquet Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
10.2.1 Floquet Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
10.2.2 Floquet Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344