Contents
xi
10.3
Quantum Nonlinear Resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.3.1 Two Primary Resonance Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.3.2 Floquet Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.3.3 Quantum Resonance Overlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.3.4 Floquet Eigenvalue Nearest Neighbor Spacing . . . . . . . . . . 350
10.3.5 Quantum Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.4
Dynamics of a Driven Bounded Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.4.1 Driven Particle in Infinite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.4.2 Avoided Crossings and High Harmonic Radiation . . . . . . 356
10.5
Dynamical Tunneling in Atom Optics Experiments . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5.1 Hamiltonian for Atomic Center-of-Mass . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5.2 Average Momentum of Cesium Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.5.3 Floquet Analysis of Tunneling Oscillations. . . . . . . . . . . . . . 362
10.6
Quantum Delta-Kicked Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.6.1 The Schrödinger Equation for the Delta-Kicked Rotor . 363
10.6.2 KAM-Like Behavior of the Quantum
Delta-Kicked Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.6.3 The Floquet Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.6.4 Dynamic Anderson Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.7
Microwave-Driven Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.7.1 Experimental Apparatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.7.2 One-Dimensional Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.8
Arnol’d Diffusion in Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.8.1 Arnol’d Diffusion in the Driven Optical Lattice . . . . . . . . . 378
10.9
Quantum Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.9.1 The Model (Classical Dynamics). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.9.2 The Model (Quantum Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.9.3 Floquet States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.9.4 STIRAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10.9.5 Avoided Crossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.10 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
A Classical Mechanics Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
A.1
Newton’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
A.2
Lagrange’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
A.3
Hamilton’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
A.4
The Poisson Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
A.5
Phase Space Volume Conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
A.6
Action-Angle Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
A.7
Hamilton’s Principal Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
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10.3
Quantum Nonlinear Resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.3.1 Two Primary Resonance Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.3.2 Floquet Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.3.3 Quantum Resonance Overlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.3.4 Floquet Eigenvalue Nearest Neighbor Spacing . . . . . . . . . . 350
10.3.5 Quantum Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.4
Dynamics of a Driven Bounded Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.4.1 Driven Particle in Infinite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.4.2 Avoided Crossings and High Harmonic Radiation . . . . . . 356
10.5
Dynamical Tunneling in Atom Optics Experiments . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5.1 Hamiltonian for Atomic Center-of-Mass . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5.2 Average Momentum of Cesium Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.5.3 Floquet Analysis of Tunneling Oscillations. . . . . . . . . . . . . . 362
10.6
Quantum Delta-Kicked Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.6.1 The Schrödinger Equation for the Delta-Kicked Rotor . 363
10.6.2 KAM-Like Behavior of the Quantum
Delta-Kicked Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.6.3 The Floquet Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.6.4 Dynamic Anderson Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.7
Microwave-Driven Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.7.1 Experimental Apparatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.7.2 One-Dimensional Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.8
Arnol’d Diffusion in Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.8.1 Arnol’d Diffusion in the Driven Optical Lattice . . . . . . . . . 378
10.9
Quantum Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.9.1 The Model (Classical Dynamics). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.9.2 The Model (Quantum Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.9.3 Floquet States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.9.4 STIRAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10.9.5 Avoided Crossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.10 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
A Classical Mechanics Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
A.1
Newton’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
A.2
Lagrange’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
A.3
Hamilton’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
A.4
The Poisson Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
A.5
Phase Space Volume Conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
A.6
Action-Angle Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
A.7
Hamilton’s Principal Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403