xii
Contents
B Simple Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
B.1
The Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
B.1.1 Libration—Trapped Orbits (E 0 < g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
B.1.2 Rotation—Untrapped Orbits (E 0 > g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
B.2
Double-Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
B.2.1 Below the Barrier—(E o < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
B.2.2 Above the Barrier—(E o > 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
B.3
Infinite Square-Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
B.4
One-Dimensional Hydrogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
B.4.1 Zero Stark Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
B.4.2 Nonzero Stark Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
C Symmetries and the Hamiltonian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
C.1
Space-Time Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
C.1.1 Continuous Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
C.1.2 Discrete Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
C.2
Structure of the Hamiltonian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
C.2.1 Space-Time Homogeneity and Isotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
C.2.2 Time Reversal Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
D Invariant Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
D.1
General Definition of Invariant Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
D.1.1 Invariant Metric (Length) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
D.1.2 Invariant Measure (Volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
D.2
Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
D.2.1 Real Symmetric Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
D.2.2 Complex Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
D.2.3 Quaternion Real Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
D.2.4 General Formula for Invariant Measure of
Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
D.3
Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
D.3.1 Symmetric Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
D.3.2 General Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
D.3.3 Symplectic Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
D.3.4 General Formula for Invariant Measure of Unitary
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
D.3.5 Orthogonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
D.4
Volume of Invariant Measure for Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 447
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
Contents
B Simple Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
B.1
The Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
B.1.1 Libration—Trapped Orbits (E 0 < g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
B.1.2 Rotation—Untrapped Orbits (E 0 > g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
B.2
Double-Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
B.2.1 Below the Barrier—(E o < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
B.2.2 Above the Barrier—(E o > 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
B.3
Infinite Square-Well Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
B.4
One-Dimensional Hydrogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
B.4.1 Zero Stark Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
B.4.2 Nonzero Stark Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
C Symmetries and the Hamiltonian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
C.1
Space-Time Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
C.1.1 Continuous Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
C.1.2 Discrete Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
C.2
Structure of the Hamiltonian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
C.2.1 Space-Time Homogeneity and Isotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
C.2.2 Time Reversal Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
D Invariant Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
D.1
General Definition of Invariant Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
D.1.1 Invariant Metric (Length) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
D.1.2 Invariant Measure (Volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
D.2
Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
D.2.1 Real Symmetric Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
D.2.2 Complex Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
D.2.3 Quaternion Real Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
D.2.4 General Formula for Invariant Measure of
Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
D.3
Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
D.3.1 Symmetric Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
D.3.2 General Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
D.3.3 Symplectic Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
D.3.4 General Formula for Invariant Measure of Unitary
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
D.3.5 Orthogonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
D.4
Volume of Invariant Measure for Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 447
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453