Contents
xiii
E Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
E.1
General Properties of Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
E.2
Quaternions in the GOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
F Gaussian Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
F.1
Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
F.1.1
Probability Density and Quaternion Matrices for
GOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
F.1.2
Cluster Functions for GOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
F.2
Gaussian Unitary Ensemble (GUE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
F.2.1
Complex Hermitian Matrices and Invariant
Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
F.2.2
Polar Form of Measure for Complex Hermitian Matrix . 475
F.2.3
Probability Density for GUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
F.2.4
Cluster Functions for GUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
F.2.5
Eigenvalue Number Density for GUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
F.2.6
3 -Statistics for GUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
F.2.7
Eigenvalue Nearest Neighbor Spacing
Distribution for GUE (N=2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
F.3
Gaussian Symplectic Ensemble (GSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
F.3.1
Quaternion Real Matrices: GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
F.3.2
Polar Form of Invariant Measure for N ×N
Quaternion Real Matrix: GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
F.3.3
Probability Density for GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
F.3.4
Cluster Functions for GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
G Circular Ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
G.1
Vandermonde Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
G.2
Circular Unitary Ensemble (CUE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
G.3
Circular Orthogonal Ensemble (COE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
G.4
Circular Symplectic Ensemble (COE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
G.5
Cluster Functions for Circular Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
G.5.1 Circular Unitary Ensemble (CUE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
G.5.2 Circular Orthogonal Ensemble (COE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
G.5.3 Circular Symplectic Ensemble (CSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
G.6
3 -Statistics for Circular Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
G.6.1 Circular Unitary Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
G.6.2 Circular Orthogonal Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
G.6.3 Circular Symplectic Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513