Collecting all numerator terms having denominator (1 À φ) in this latter equation
gives the following expression for the numerator;
1 þ
13γ
2
À 7γ þ 12
5 2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
À
6
5
þ
3γ
2γ þ 1
and by simplifying this expression one can show that it reduces to 2/(2 À γ).
Substituting this back in the equation for d ln ψ/dφ gives
d ln ψ
dφ
¼
2= 2 À γ
ð
Þ
1 À φ
À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ = 2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
þ
3γ= 2γ þ 1
ð
Þ
γφ À 1
:
Integrating, we obtain,
ln ψ ¼ À
2
2 À γ
ln 1 À φ
ð
Þþ
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ 3γ À 1
ð
Þ
ln 5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
þ
3
2γ þ 1
ln γφ À 1
ð
ÞþC 2
where the constant of integration C 2 is determined from the boundary condition;
ψ 1
ð Þ ¼
γ þ 1
γ À 1
and φ 1
ð Þ ¼
2
γ þ 1
at η ¼ 1,
this gives C 2 as
C 2 ¼ ln
γ þ 1
γ À 1
þ
2
2 À γ
ln
γ À 1
γ þ 1
À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ 3γ À 1
ð
Þ
ln
7 À γ
γ þ 1
À
3
2γ þ 1
ln
γ À 1
γ þ 1
Substituting this value of C 2 back in the equation for lnψ and simplifying yields,
ln ψ ¼ ln
γ þ 1
γ À 1
þ
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ 3γ À 1
ð
Þ
ln
γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
þ
3
2γ þ 1
ln
γ þ 1
γ À 1
γφ À 1
ð
ÞÀ
2
2 À γ
ln
γ þ 1
γ À 1
1 À φ
ð
Þ
hence,
274
5 Spherical Shock Waves: The Self-similar Solution