ψ ¼
γ þ 1
γ À 1
γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
f
g
! β 1 γ þ 1
γ À 1
γφ À 1
ð
Þ
! β 2 γ þ 1
γ À 1
1 À φ
ð
Þ
! β 3
,
ð5:135Þ
where
β 1 ¼
13γ
2
À 7γ þ 12
2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ 3γ À 1
ð
Þ
, β 2 ¼
3
2γ þ 1
and β 3 ¼ À
2
2 À γ
:
ð5:136Þ
5.18.3 The Analytical Expression for the Pressure
By substituting Eq. (5.135) in Eq. (5.123) we obtain the following expression for the
pressure f,
f ¼
γ γ þ 1
ð
Þ
2
η
2 φ
2
γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þ φ
f
g
! β 1 γ þ 1
γ À 1
γφ À 1
ð
Þ
! β 2 À1 γ þ 1
γ À 1
1 À φ
ð
Þ
! β 3 þ1
and substituting the expression for η from Eq. (5.132), gives
f ¼
2γ
γ þ 1
ð
Þ
γ þ 1
2
φ
h
i 2 γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þ φ
f
g
! β 1 γ þ 1
γ À 1
γφ À 1
ð
Þ
! β 2 À1 γ þ 1
γ À 1
1 À φ
ð
Þ
! β 3 þ1
Â
γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þ φ
f
g
! 2α 1
5 1
γ þ 1
2
φ
h
i
2α 2
5
γ þ 1
γ À 1
γφ À 1
ð
Þ
! 2α 3
5
Hence,
f ¼
2γ
γ þ 1
ð
Þ
γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
f
g
! 2α 1
5 þβ 1 γ þ 1
2
φ
h
i
2α 2
5 þ2
γ þ 1
γ À 1
γφ À 1
ð
Þ
! 2α 3
5 þβ 2 À1
Â
γ þ 1
γ À 1
1 À φ
ð
Þ
! β 3 þ1
the exponent terms in this latter equation are obtained from Eqs. (5.133) and (5.136),
hence,
2
5
α 1 þ β 1 ¼ À
2
5
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
3γ À 1
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
þ
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
3γ À 1
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ 2 À γ
ð
Þ
5.18 Analytical Solution Method
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