d ln ψ
dφ
¼
1
1 À φ
ð
Þ
þ
3φ
1 À φ
d ln η
dφ
and substituting for d ln η/dφ from Eq. (5.129) we have
d ln ψ
dφ
¼
1
1 À φ
þ
3φ
1 À φ
Â
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ =5 2γ þ 1
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
À
2=5
φ
þ
γ γ À 1
ð
Þ= 2γ þ 1
ð
Þ
γφ À 1
!
: ð5:134Þ
By carrying out the multiplication in relation to the second term on the right-hand
side of the latter equation we can identify again the need to consider partial fraction
expansions. In this context we, firstly, deal the quantity,
3φ
5 2γþ1
ð
Þ 13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
1 À φ
ð
Þ5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
A 3
1 À φ
þ
B 3
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
:
Solving this latter equation in the usual manner we obtain
A 3 ¼
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
5 2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
and B 3 ¼ À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
:
Similarly, in relation to the other quantity appearing in Eq. (5.134) we have
3γ γÀ1
ð
Þφ
2γþ1
1 À φ
ð
Þ γφ À 1
ð
Þ
A 4
1 À φ
þ
B 4
γφ À 1
and one finds that
A 4 ¼
3γ
2γ þ 1
and B 4 ¼
3γ
2γ þ 1
:
Substituting these results in Eq. (5.134) gives
d ln ψ
dφ
¼
1
1 À φ
þ
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ =5 2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
1 À φ
À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ = 2 À γ
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
À
6=5
1 À φ
þ
3γ= 2γ þ 1
ð
Þ
1 À φ
þ
3γ= 2γ þ 1
ð
Þ
γφ À 1
5.18 Analytical Solution Method
273