C 1 ¼
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
3γ À 1
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
ln
7 À γ
γ þ 1
þ 2 ln
2
γ þ 1
À
5 γ À 1
ð
Þ
2γ þ 1
ln
γ À 1
γ þ 1
:
Substituting this back in Eq. (5.131) gives
5 ln η ¼ À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
3γ À 1
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
ln
γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
f
g
!
À 2 ln
γ þ 1
2
φ
h
i
þ
5 γ À 1
ð
Þ
2γ þ 1
ln
γ þ 1
γ À 1
γφ À 1
ð
Þ
!
hence,
η ¼
γ þ 1
7 À γ
5 À 3γ À 1
ð
Þ
ϕ
η
&
' ! α 1
5
γ þ 1
2
ϕ
η
! α 2
5
γ þ 1
γ À 1
γ
ϕ
η
À 1
! α 3
5
,
ð5:132Þ
where we have substituted the relation, ϕ/η ¼ φ and where
α 1 ¼ À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
3γ À 1
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
, α 2 ¼ À2, α 3 ¼
5 γ À 1
ð
Þ
2γ þ 1
ð
Þ
:
ð5:133Þ
Eq. (5.132) gives an implicit relationship between the velocity ϕ and η.
5.18.2 The Analytical Expression for the Density
Let us now determine an analytical expression for the density. The continuity
equation is
φ À 1
ð
Þ
d ln ψ
d ln η
þ
dφ
d ln η
þ 3φ ¼ 0,
hence,
d ln ψ
d ln η
¼
1
1 À φ
ð
Þ
dφ
d ln η
þ
3φ
1 À φ
:
Multiplying across by d ln η/dφ we obtain
272
5 Spherical Shock Waves: The Self-similar Solution