γ 1 À φ
ð
Þ
γφ À 1
ð
Þ5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
A 2
γφ À 1
þ
B 2
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
and by solving this partial fraction expansion we find that
A 2 ¼
γ γ À 1
ð
Þ
2γ þ 1
and B 2 ¼
3γ γ À 2
ð
Þ
2γ þ 1
:
Collecting all terms having denominator [5 À (3γ À 1)φ] we have
1
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
γ À
6 γ À 2
ð
Þ
5
þ
3γ γ À 2
ð
Þ
2γ þ 1
!
¼
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ =5 2γ þ 1
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
:
Substituting these results back in Eq. (5.129) gives,
5
d ln η
dφ
¼
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ = 2γ þ 1
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
À
2
φ
þ
5γ γ À 1
ð
Þ= 2γ þ 1
ð
Þ
γφ À 1
ð5:130Þ
We are now in a position to integrate the latter equation; noting that
Z
dφ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
¼ À
1
3γ À 1
ð
Þ
ln 5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š þ constant
and
Z
dφ
γφ À 1
¼
1
γ
ln γφ À 1
ð
Þþconstant:
Carrying out the integration we obtain
5 ln η ¼ À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
3γ À 1
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
ln 5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š À 2 ln φ
þ
5 γ À 1
ð
Þ
2γ þ 1
ln γφ À 1
ð
ÞþC 1 :
ð5:131Þ
The constant of integration C 1 is determined by noting that at η ¼ 1, φ ¼ 2/(γ + 1),
hence,
0 ¼ À
13γ
2
À 7γ þ 12
ð
Þ
3γ À 1
ð
Þ 2γ þ 1
ð
Þ
ln 5 À 3γ À 1
ð
Þ
2
λ þ 1
h
i
À 2 ln
2
γ þ 1
þ
5 γ À 1
ð
Þ
2γ þ 1
ln
2γ
γ þ 1
À 1
þ C 1
Hence,
5.18 Analytical Solution Method
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