d ln η
dφ
¼
γ À 1
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
À
1 À φ
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
d ln Ψ
dφ
:
ð5:128Þ
However,
Ψ ¼
γ γ À 1
ð
Þ
2
φ
2 1 À φ
ð
Þ
γφ À 1
and taking logs of both sides gives
ln Ψ ¼ ln γ
γ À 1
ð
Þ
2
þ 2 ln φ þ ln 1 À φ
ð
ÞÀ ln γφ À 1
ð
Þ
and differentiating the latter equation yields,
d ln Ψ
dφ
¼
2
φ
À
1
1 À φ
À
γ
γφ À 1
:
Hence, Eq. (5.128) becomes,
d ln η
dφ
¼
γ À 1
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
À
1 À φ
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
2
φ
À
1
1 À φ
À
γ
γφ À 1
!
:
Gathering similar terms together implies that we can write the latter equation as,
d ln η
dφ
¼
γ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
À
2 1 À φ
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š φ
þ
γ 1 À φ
ð
Þ
γφ À 1
ð
Þ5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
: ð5:129Þ
At this stage we need to carry out some partial fraction expansions in order to
integrate this latter equation. Firstly, let
2 1 À φ
ð
Þ
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š φ
A 1
φ
þ
B 1
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
½
Š
,
hence,
5A 1 ¼ 2 and 3γ À 1
ð
ÞA 1 À B 1 ¼ 2:
Solving for A 1 and B 1 gives,
A 1 ¼
2
5
and B 1 ¼
6
5
γ À 2
ð
Þ:
Similarly, let
270
5 Spherical Shock Waves: The Self-similar Solution