Ψ ¼
γ γ À 1
ð
Þ
2
φ
2 1 À φ
γφ À 1
d ln ψ
d ln η
¼ À
1
φ À 1
dφ
d ln η
À
3φ
φ À 1
d ln Ψ
d ln η
À γ À 1
ð
Þ
d ln ψ
d ln η
þ 2
φ À
5
2
φ À 1
¼ 0,
with the first of these equations replacing the momentum equation.
5.18 Analytical Solution Method
Let us now proceed to obtain analytical solutions for the velocity, density and
pressure. As we will see, the method is straightforward but, nonetheless, quite
lengthy and one has to be careful in performing the many algebraic manipulations.
5.18.1 The Analytical Expression for the Velocity
Substituting the continuity equation in the energy equation gives
d ln Ψ
d ln η
þ
γ À 1
ð
Þ
φ À 1
dφ
d ln η
þ 3φ
γ À 1
ð
Þ
φ À 1
þ 2
φ À
5
2
À
Á
φ À 1
¼ 0
hence,
φ À 1
γ À 1
d ln Ψ
d ln η
þ
dφ
d ln η
þ 3φ þ 2
φ À
5
2
γ À 1
¼ 0
and, accordingly,
dφ
d ln η
À
1 À φ
γ À 1
d ln Ψ
d ln η
À
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
γ À 1
¼ 0:
Multiplying the latter equation by d ln η/dφ gives
1 À
1 À φ
γ À 1
d ln Ψ
dφ
À
5 À 3γ À 1
ð
Þφ
γ À 1
d ln η
dφ
¼ 0
and solving for d ln η/dφ gives
5.18 Analytical Solution Method
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