3 þ γη φ À 1
ð
Þ
ψ
0
ψ
À η
f
0
f
φ À 1
ð
Þ¼0:
ð5:126Þ
From Eq. (5.123) we have
f
0
¼ 2ηΨψ þ η
2
ψ
dΨ
dη
þ Ψ
dψ
dη
,
and dividing across by f, gives,
f
0
f
¼
2
η
þ
1
Ψ
dΨ
dη
þ
1
ψ
dψ
dη
and substituting this latter equation in Eq. (5.126), we have
3 þ γη φ À 1
ð
Þ
ψ
0
ψ
À η φ À 1
ð
Þ
2
η
þ
1
Ψ
dΨ
dη
þ
1
ψ
dψ
dη
¼ 0:
Simplifying, yields
3 þ γ φ À 1
ð
Þ
d ln ψ
d ln η
À 2 φ À 1
ð
ÞÀ φ À 1
ð
Þ
d ln Ψ
d ln η
À φ À 1
ð
Þ
d ln ψ
d ln η
¼ 0,
therefore,
φ À 1
ð
Þ
d ln Ψ
d ln η
¼ 3 þ φ À 1
ð
Þ γ À 1
ð
Þ
d ln ψ
d ln η
À 2 φ À 1
ð
Þ,
hence,
d ln Ψ
d ln η
¼ γ À 1
ð
Þ
d ln ψ
d ln η
À 2 þ
3
φ À 1
and after further simplifications we finally obtain
d ln Ψ
d ln η
À γ À 1
ð
Þ
d ln ψ
d ln η
þ 2
φ À
5
2
φ À 1
¼ 0:
ð5:127Þ
This is the final form of the energy equation. Accordingly, the following three
equations will be used to obtain an analytical solution;
268
5 Spherical Shock Waves: The Self-similar Solution