4.8.4
Tube Closed at End: A Reflected Shock . . . . . . . . . . . . 160
4.8.5
The Numerical Value of κ for the Artificial Viscosity . . . 169
4.8.6
Piston Withdrawal Generating an Expansion Wave . . . . 170
4.8.7
The Shock Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.8.8
The Effect of Amplitude on Wave Propagation . . . . . . . 177
4.8.9
Short Duration Piston Motion: Shock Decay . . . . . . . . . 188
4.8.10 Some Numerical Results for Shock Wave Interactions . . 204
4.9
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5 Spherical Shock Waves: The Self-similar Solution . . . . . . . . . . . . . . 217
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.2
Shock Wave from an Intense Explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3
The Point Source Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.4
Taylor’s Analysis of Very Intense Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.1
Momentum Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4.2
Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4.3
Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5
Derivatives at the Shock Front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.6
Numerical Integration of the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.7
Energy of the Explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.8
The Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.9
The Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.10 The Pressure-Time Relationship for a Fixed Point . . . . . . . . . . . . 233
5.11 Taylor’s Analytical Approximations for Velocity,
Pressure and Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.11.1 The Velocity ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.11.2 The Pressure f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.11.3 The Density ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.12 The Density for Small Values of η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.13 The Temperature in the Central Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.14 The Wasted Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.15 Taylor’s Second Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.16 Approximate Treatment of Strong Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.16.1 Chernyi’s Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.16.2 Bethe’s Approximation for Small Values of γ À 1 . . . . . 256
5.17 Route to an Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.18 Analytical Solution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.18.1 The Analytical Expression for the Velocity . . . . . . . . . . 269
5.18.2 The Analytical Expression for the Density . . . . . . . . . . . 272
5.18.3 The Analytical Expression for the Pressure . . . . . . . . . . 275
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
xiv
Contents
Tube Closed at End: A Reflected Shock . . . . . . . . . . . . 160
4.8.5
The Numerical Value of κ for the Artificial Viscosity . . . 169
4.8.6
Piston Withdrawal Generating an Expansion Wave . . . . 170
4.8.7
The Shock Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.8.8
The Effect of Amplitude on Wave Propagation . . . . . . . 177
4.8.9
Short Duration Piston Motion: Shock Decay . . . . . . . . . 188
4.8.10 Some Numerical Results for Shock Wave Interactions . . 204
4.9
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5 Spherical Shock Waves: The Self-similar Solution . . . . . . . . . . . . . . 217
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.2
Shock Wave from an Intense Explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3
The Point Source Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.4
Taylor’s Analysis of Very Intense Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.1
Momentum Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4.2
Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4.3
Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5
Derivatives at the Shock Front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.6
Numerical Integration of the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.7
Energy of the Explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.8
The Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.9
The Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.10 The Pressure-Time Relationship for a Fixed Point . . . . . . . . . . . . 233
5.11 Taylor’s Analytical Approximations for Velocity,
Pressure and Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.11.1 The Velocity ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.11.2 The Pressure f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.11.3 The Density ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.12 The Density for Small Values of η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.13 The Temperature in the Central Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.14 The Wasted Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.15 Taylor’s Second Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.16 Approximate Treatment of Strong Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.16.1 Chernyi’s Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.16.2 Bethe’s Approximation for Small Values of γ À 1 . . . . . 256
5.17 Route to an Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.18 Analytical Solution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.18.1 The Analytical Expression for the Velocity . . . . . . . . . . 269
5.18.2 The Analytical Expression for the Density . . . . . . . . . . . 272
5.18.3 The Analytical Expression for the Pressure . . . . . . . . . . 275
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
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Contents