3.8
Other Useful Relationships in Terms of Mach
Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.9
Entropy Change Across the Shock in Terms of
Mach Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.10 Fluid Motion Behind the Shock in Terms of Shock
Wave Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.11 Reflection of a Plane Shock from a Rigid Plane Surface . . . . . . . 110
3.12 Approximate Analytical Expressions for Weak
Shock Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.12.1 Shock Velocity for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.12.2 Pressure Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.12.3 Density Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.12.4 Temperature Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.12.5 Sound Speed Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.12.6 Entropy Change for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.12.7 Change in the Riemann Invariant R À for
Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.13 Thickness of the Shock Wave Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.14 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Numerical Treatment of Plane Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2
The Need for Numerical Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3
Lagrangian Equations in Plane Geometry with
Artificial Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.1
Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.2
Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3.3
Equation of Energy Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4
Artificial Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.1
Equations for Plane-Wave Motion with
Artificial Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.2
A Steady-State Plane Shock with Artificial Viscosity . . . 137
4.4.3
Variation in the Specific Volume Across the Shock . . . . 141
4.5
The Numerical Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.1
The Differential Equations for Plane Wave
Motion: A Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.2
Finite Difference Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.3
The Discrete Form of the Equations . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6
Stability of the Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.7
Grid Spacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8
Numerical Examples of Plane Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8.1
Piston Generated Shock Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8.2
Linear Ramp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.8.3
Piston Motion According to the Law u ¼ at
n ; n > 0. . . . . 159
Contents
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Other Useful Relationships in Terms of Mach
Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.9
Entropy Change Across the Shock in Terms of
Mach Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.10 Fluid Motion Behind the Shock in Terms of Shock
Wave Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.11 Reflection of a Plane Shock from a Rigid Plane Surface . . . . . . . 110
3.12 Approximate Analytical Expressions for Weak
Shock Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.12.1 Shock Velocity for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.12.2 Pressure Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.12.3 Density Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.12.4 Temperature Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.12.5 Sound Speed Ratio for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.12.6 Entropy Change for Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.12.7 Change in the Riemann Invariant R À for
Weak Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.13 Thickness of the Shock Wave Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.14 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Numerical Treatment of Plane Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2
The Need for Numerical Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3
Lagrangian Equations in Plane Geometry with
Artificial Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.1
Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.2
Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3.3
Equation of Energy Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4
Artificial Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.1
Equations for Plane-Wave Motion with
Artificial Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.2
A Steady-State Plane Shock with Artificial Viscosity . . . 137
4.4.3
Variation in the Specific Volume Across the Shock . . . . 141
4.5
The Numerical Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.1
The Differential Equations for Plane Wave
Motion: A Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.2
Finite Difference Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.3
The Discrete Form of the Equations . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6
Stability of the Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.7
Grid Spacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8
Numerical Examples of Plane Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8.1
Piston Generated Shock Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8.2
Linear Ramp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.8.3
Piston Motion According to the Law u ¼ at
n ; n > 0. . . . . 159
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